算術和定義
算術和也稱為區間分析，是定義在區間上的一組運算規則。其主要特點是能處理不確定數據,自動記錄計算機浮點運算中所產生的截尾和捨入誤差,高效而可靠地估計函式在某個自變數區域的取值範圍,從而被廣泛套用於自然科學的各個領域。區間算術興起於20世紀60年代,從20世紀80年代初開始在計算機圖形學(CG)及計算機輔助設計(CAD)領域得到重要套用。為了解決這個問題,仿射算術和(affinearithmetic,簡記為AA)作為區間算術的一種改進形式於20世紀90年代初被提了出來,近年來在曲線曲面繪製中得到更加廣泛的套用。本文從計算機圖形套用的角度,綜述了區間、仿射算術及它們的改進形式即矩陣或張量形式的修正仿射算術和遞歸Taylor方法的理論研究成果,以及它們的特點、原理、地位、作用、局限性、發展史以及套用概況,並探討了未來的研究方向和研究重點。
算術和類型
區間算術和
區間算術和的缺點就是過於保守,經區間算術運算所得到的區間常常比實際範圍大得多,甚至到了毫無用處的地步,這個問題在一個接一個的區間運算的長計算鏈中尤其突出,會導致所謂的誤差爆炸0現象,而這樣的長計算鏈在實際計算中經常出現。為了解決區間算術這個過於保守的問題,仿射算術的概念。與區間算術一樣,仿射算術也能夠自動記錄浮點數的截尾和捨入誤差,此外它還能自動記錄各個不確定量之間的依賴關係,正是由於這個額外的信息,仿射算術能得到比區間算術緊得多的區間,特別在長計算。
代數算術和
代數，乃是數學學習的關鍵點。由算術進入代數，不僅是引入了文字元號來處理運算，同時也代表著數學的學習要從具體情境進入抽象概念。在所有國家的中國小數學課程中，代數均處於核心的地位。這不僅是因為代數是數學的基礎，它是一種解決問題的工具，它提供了一種一般化的語言和結構去分析量之間的關係、建立模型以及說明和證明；而且因為代數的知識內容及其處理方式比較符合中小學生的認知水平和心理特點。2005 年全美數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）年會上，提出要實現“為每個人的代數”目標就要從中國小課程及教學上下功夫。美國數學教育者以及課程決策者認為，代數已經成為通向高等教育和機會的大門，成功參與民主社會和科技市場離不開代數思維。協會亦在《學校數學的準則與標準》一書中揭示了代數在學校數學教學的重要性：代數不但是學校數學中一個重要的部分，而且有助於整合學校數學。代數對於學生未來的生活相當重要，不管是工作或是繼續升學，所有的學生都必須學習代數（NCTM,2000）國內外的研究中，對代數思維於學生思維發展的重要意義有著一致的認同。國中六年級階段“套用題”這一教學內容，正好是承上啟下代數思維教學的載體，既與國小高年級套用題內容相連線，又為七年級用字母和符號表示從問題情境中抽象出來的各種關係的代數學習作了鋪墊，還可以在悄然間完成學生從算術思維向代數思維初步轉變的過程問題的提出教學中我們發現，上海市學生在六年級的時候處於從算術思維的學習向代數的學習過渡的極為重要的轉變階段。此時，一方面，數學知識發生了急劇的變化，另一方面，國中教師的教學方式、學生的學習方式等較國小都有所改變，所以六年級學生在一元一次方程解決中學習代數思維內容時面臨很大的挑戰。學生從算術到代數的過渡，需要從對數的思考向對符號的思考的轉變。
套用題算術和
套用題可以被定義為一種文字描述的問題情境，其中，會提出一個或以上的問題，問題的答案可以通過對問題陳述中所提供的數字數據進行數學計算而獲得。套用題最典型的形式中，題目的文本中對於情境中的必需條件有著清晰的描述，只是某些是明給的，有些則不是。問題的解決者需要通過明確而有針對性地運用題乾中的已知量，並且結合已知量之間的數學關係，給出針對特定問題的數值答案。套用題在初等數學教育中的地位十分重要，不僅是因為可以激發學生學生並幫助他們發展邏輯思維，而且還因為套用題可以對學生有效解決生活中遇到的實際問題產生積極的影響。界定二：按照系統論的觀點，如果一個數學問題的內容純粹娃有關數學對象和方法的，那么它就是一個純數學問題。純數學問題己脫離了實際特景，它由簡明而乂抽象的數學語言來表述。與純數學問題相對而言的是實際問題，它是人們在實際生活中所遇到的問題。在我們把一些實際問題的復勤背景和條件進行簡化後，如果這個簡化的實際問題可以轉化為純數學問題來求解，那么它就叫做數學套用題。界定一主要是從套用題的構成結構，以及解決過程的本質的角度所給出的定義，界定二則是從問題的本質出發，將數學套用題與純數學問題進行比較，突出數學套用題的特點。筆者綜合上述兩種觀點，將本文中的套用題概念界定為：將實際生活中遇到的問題簡化成純數學問題求解，寫成一種文字描述的問題情境，由包含已知量的條件和若干包含未知量的問題組成。
算術和好處
既用算術法又用代數。根據蔡金法的觀點：同時用算術和代數的方法解決問題，能幫助學生建立對問題的算術和代數的思維方法。也許在過渡階段的初期，學生不明白為什麼要用解方程的方法解決問題，但是，經過同時使用兩種方法的階段，學生會認識到用方程解決問題的優越性。教學生同時用算術和代數的方法解決問題有以下三個益處：（1）通過對數量關係的算術和代數的表示，幫助學生對數量關係的深度理解；（2）引導學生髮現算術方法和代數方法之間的相似和差異，以便理解更一般的代數方法的威力；（3）發展學生的思維技能以及使用適當的方法解決問題的靈活性。“先描述再計算”是造成代數與算術不同的關鍵特徵。算術與代數方法的比較能突顯這一獨特的性質。
