等度連續的定義
定義一對於定義在區間I上的函式序列{fn(x)}稱為等度連續的，如果對任意的n，fn(x)在區間I上一致連續。
定義二設{fn(x)}是定義在區間I上的連續函式序列，如果對任意的n(正整數)、ε(正實數)，存在正實數δ(只與ε有關，而與x和n無關)，使得對於任意滿足|x1-x2|<δ的x1、x2，對任意的n，都有|fn(x1)-fn(x2)|<ε，則稱函式序列在區間I上等度連續。
等度連續的套用
應當指出的是，等度連續是非常嚴格的。具有等度連續性的函式序列往往具有特別的性質。
阿索里引理閉區間I上的等度連續函式序列{fn(x)}存在子列{fnk(x)}在區間I上一致收斂。
連(Liam)定理閉區間[a,b]上的連續函式序列在[a,b]上等度連續與在(a,b)上等度連續等價。
等度連續與一致連續一致收斂的關係
一致連續數學分析中，一元函式的一致連續被定義為：
定義在區間I上的連續函式f(x)稱為一致連續的，如果對於任意的ε>0，都有δ>0(只與ε有關而與x無關)使得對於任意定義區間內的滿足|x1-x2|<δ的x1、x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε。
可以看到，一元函式一致連續的定義與前述等度連續（定義二）是類似的。事實上，等度連續意味著函式序列中每一個fn(x)都在定義區間內一致連續。
數學分析中，函式項級數的一致收斂被定義為：
函式項級數∑(n:1 → +∞) Un(x)在Un(x)的定義區間A上收斂於極限函式f(x)，若對於任意給定的正實數ε，都存在一個只與ε有關與x無關的正整數N，使得對於任意的n>N以及x∈A都有|f(x) - ∑(i:1→n) Ui(x)|<ε，則稱函式項級數∑(n:1 → +∞) Un(x)在定義區間A上一致收斂。
等度連續與一致收斂的關係通過阿索里引理建立，即閉區間I上的等度連續函式序列{fn(x)}存在子列{fnk(x)}在區間I上一致收斂。
