祖暅定理

我國古代數學祖暅是5世紀末、6世紀初的人，是著名數學家祖沖之的兒子．他提出了祖暅定理，並用這個定理求得球體積的計算公式．在歐洲，直到17世紀才由義大利數學家卡瓦列利提出這個定理，他也沒有加以證明，但比祖暅晚了一千多年．祖暅定理的嚴格證明，要用到積分的知識．
祖暅定理原文為：冪勢既同，則積不容異。也就是“等高處橫截面積常相等的兩個立體，其體積也必然相等。”即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行於這兩個平面的任何平面所截得的兩個截面的面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。
祖暅定理與球體積證明：
圖1是 球體，用 表示球體積．圖2是 “牟合方蓋”，用 表示“牟合方蓋”體積．“牟合方蓋”是一個特殊立體，是以 為直徑的兩個圓柱軸線垂直且相交而形成的．圖3是以 為棱的正方體挖去一個倒立的陽馬，用 表示其體積．
若用平行於底且相距為 的平面去截上述三個立體，所得截面面積分別為：
， ， ．
因為 ， ，
所以 ， ．
但從 可推得 ．
上述推算過程實際上圖1起了橋樑作用，亦可從圖3和圖2直接推出：
因為 ，得 ．
所以由 就可推得 ．
祖暅在推算過程所套用的原理，西方叫卡瓦列利原理，因卡氏於公元1635年在《連續不可分量幾何》里提出的，而這比祖沖之父子晚1100多年．因而我們將此原理稱為“祖氏原理”或“祖暅原理”更為恰當．下面給出祖暅定理的兩個推論，並利用原理及推論求橢圓的面積、橢球體的體積和環體體積．
推論1 夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行於這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積比總為 ，那么這兩個幾何體的體積之比亦為 ，
推論2 夾在兩條平行線間的兩個平面圖形，被平行於這兩條平行線的任意直線所截，如果截得的兩條線段之比總為 ，那么這兩個平面圖形的面積之比亦為 ．
問題1 求橢圓 的面積．
解 如圖4，圓 方程為 ．作沿平行於 軸方向均勻壓縮變換 代入圓 方程就得橢圓方程．由於橢圓與圓都夾在兩條平行線 與 之間，且 ，由推論2得
，
所以 ．
問題2 如圖3，求以 軸為旋轉，橢圓 為母線旋轉生成的幾何體體積．
解 以 為半徑的圓面積為 ，以 為半徑的圓面積為 ，則由推論2，得
，由推論1得 ，
所以 ．
一個圓繞同一平面內與它不相交的一條直線旋轉形成的旋轉面叫做環面，環面所圍成的幾何體叫做環體．
問題3 設圓 半徑為 ，圓 繞它所在平面上與它不相交的直線 旋轉，設點 到 的距離為 ，試求旋轉所成的環體體積．
解 取一個底面半徑為 高為 的圓柱和環體都平放在平面 上，則環體和圓柱都夾在兩個平行平面之間．
用平行平面 的任意平面去截環體和圓柱，截面分別為圓環面和矩形面．設過圓 的圓心 及圓柱中心線且與 平面平行的平面 ，如果截平面與平面 的距離為 ，則截環體的得圓環面的外徑為 ，內徑為 ；截圓柱所得矩形的寬為 ，長為 ，
所以 圓環面積 ，
矩形面積 ．
所以 ．
依祖暅原理， ，即
．