矩陣行列式

矩陣行列式(determinant of a matrix)是指矩陣的全部元素構成的行列式，設A=(aij)是數域P上的一個n階矩陣，則所有A=(aij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|或det(A)。若A，B是數域P上的兩個n階矩陣，k是P中的任一個數，則|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|，其中A*是A的伴隨矩陣；若A是可逆矩陣，則|A|=|A|。

基本介紹

一個n×n的方陣A的行列式記為det( A)或者| A|，一個2×2矩陣的行列式可表示如下：

矩陣行列式

把一個n階行列式中的元素a所在的第i行和第j列划去後，留下來的n-1階行列式叫做元素a的餘子式,記作M。記 A=(-1) M，叫做元素a的 代數餘子式。例如：

矩陣行列式

矩陣行列式

一個n×n矩陣的行列式等於其任意行(或列)的元素與對應的代數餘子式乘積之和，即 :

矩陣行列式

相關定理

定理1 設A為一n×n矩陣，則det(A )=det(A) 。

證 對n採用數學歸納法證明。顯然，因為1×1矩陣是對稱的，該結論對n=1是成立的。假設這個結論對所有k×k矩陣也是成立的，對(k+1)×(k+1)矩陣A，將det(A)按照A的第一行展開，我們有：

det(A)=adet(M)-adet(M)+-…±adet(M)，

由於M均為k×k矩陣，由歸納假設有

矩陣行列式

此式右端恰是det(A )按照A 的第一列的餘子式展開。因此

矩陣行列式

定理2 設A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等於A的對角元素的乘積。

根據定理1，只需證明結論對下三角形矩陣成立。利用餘子式展開和對n的歸納法，容易證明這個結論。

定理3 令A為n×n矩陣。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全為零，則det(A)=0。

(ii) 若A有兩行或兩列相等，則det(A)=0。

這些結論容易利用餘子式展開加以證明 。