矢量積分

矢量積分指的是定義函式 g 在區間 [a, b] 上可微分、表示R 空間內的曲線。函式 F 是定義在函式 g 上的矢量場。

定義 函式 g 在區間 [a, b] 上可微分、表示R 空間內的曲線。 函式 F 是定義在函式 g 上的矢量場。 那么
∫(F(g(t)), g'(t)) dt (積分區間從a到b) ...... (1)
叫做 g 上的 F 的線積分。 特例，當 F 是scalar值的時候、矢量積分就是
∫F(g(t)) |g'(t)| dt (積分區間從a到b) ...... (2)
這樣的形式。但是當g(t) = (x(t), y(t)) 的時候
|g'(t)| = Sqr((x'(t)) + (y'(t))) 就作為矢量積分積分（１）的物理意義。例如在空間中有一力 F 、單位質量的質點m 從山腳向山頂與力F 逆向、沿著路徑g(t) 運動（如下圖）。 考慮有哪些能源是必要的。如果在極小區間　ds=s2-s1 （全部矢量）上運動的話、增加力F(s2)的矢量ds的正投影（即內積）　(F(s2),s2-s1)就是工作，也就是必要的能源。有 (F(s2),s2-s1)=(F(g(t2)),(g(t2)-g(t1))/(t2-t1))×(t2-t1) ≒　(F(g(t),g'(t))dt 增加的這部分就是線積分（１）。
例 -- 半徑為r 的拳擊場的長度 這個曲線表示為 g(t) = (rCOS(t), rsin(t)) 0 ≦ t ≦ 2pai
得 g'(t) = (-rsin(t), rcos(t)) |g'(t)| = r sqr(sin(t) + cos(t))
長度為 L = ∫g ds = ∫0 |g'(t)| dt = ∫0 r dt = 2πr