公理，無法證明。
2．坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，
dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
則對光信號dS恆等於0，而對於任意兩時空點的dS一般不為0。dS^2>0稱類空間隔，dS^2<0稱類時間隔，dS^2=0稱類光間隔。相對論原理要求(1)式在坐標變換下形式不變，因此(1)式中存在與坐標變換無關的不變數，dS^2dS^2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變數。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是坐標變換下的不變數。
由數學的旋轉變換公式有：（保持y,z軸不動，旋轉x和ict軸）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
3．4．5．6．略。
7．動量表達式及四維矢量：（註：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ）
令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。
則V=(γv,icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）
四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F為三維力）
四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
則f=mdV/dτ=mω
8．略。
9．質能方程：
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似於洛倫茲磁場力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達式)）
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2
