人物生平
早年經歷
甘延壽出身名門，年少時就擅長騎馬射箭，最初以良家子身份加入羽林軍。甘延壽很有力氣，投擲石塊，跨越障礙，遠遠超出同伴；據說能逾越羽林軍駐地的樓台閣亭，因此升任郎官。
後來，甘延壽參加格鬥考試成績優秀，成為期門郎。由於甘延壽有才能和勇力，因此得到皇帝的喜愛。漸漸升至遼東太守，後因事免官。後在車騎將軍許嘉的推薦之下，擔任郎中、諫議大夫。
西域
起初在漢宣帝時，匈奴發生內亂，五位單于爭位，呼韓邪單于與郅支單于都送兒子到漢朝做人質，漢朝兩方都接受。後來呼韓邪單于親自入朝稱臣，朝覲漢宣帝。郅支單于認為呼韓邪單于是因為勢力敗弱而投降漢朝，不能獨自返回匈奴，就西進收取右地。因此向西攻破呼偈、堅昆、丁令，兼併三國統治他們。正好漢朝派兵護送呼韓邪單于返回，郅支怨恨漢朝扶持呼韓邪單于，不幫助自己，就刁難羞辱漢朝使臣江乃始等人。
初元四年（公元前45年），郅支單于派遣使者到漢朝進獻，藉機索求在漢朝作人質的兒子，表示願意內附漢朝。漢元帝同意放其子回國，特派衛司馬谷吉護送。谷吉到後，郅支單于背信棄義，竟然殺害谷吉等人。郅支單于自知辜負漢朝，而且還聽說在漢朝扶持下呼韓邪單于越來越強大，恐怕遭到襲擊，於是向西逃到康居國。
郅支單于與康居國王互相娶對方的女兒，互為翁婿。康居王很尊敬郅支單于，想倚仗他的聲威，脅迫各國。郅支單于多次借兵進攻烏孫國，竟攻至烏孫都城赤谷城（今吉爾吉斯斯坦伊塞克湖州伊什提克）下，殺害搶掠百姓，驅趕畜產返回，烏孫不敢追趕，因此西部空曠，沒有人居住的地方近千里。郅支單于自以為是大國，威名尊貴，而且因勝利驕傲，對康居王無禮，以至發怒殺死康居王的女兒與貴族大臣以及百姓數百人，有的甚至被剁成幾塊肢解後投進都賴水之中。
後來，郅支單于調發百姓修建城池，每天有五百人服勞役，歷時兩年才建成。郅支單于還派遣使者責令闔蘇、大宛各國每年進獻，各國不敢不給。漢朝派遣三批使者到康居尋找谷吉等人的屍首，郅支單于刁難羞辱使者，不肯服從漢朝的命令，還通過漢朝西域都護鄭吉上書說：“我處境困窘，正打算歸順強大的漢朝，派兒子入朝侍奉。”態度如此傲慢。 當時鄭吉已經年老多病，要求退休，漢元帝於是任命甘延壽為西域都護、騎都尉，陳湯為西域副校尉，決定派他們二人出使西域。
獻策結盟
建昭三年（公元前36年），甘延壽與陳湯到達西域之後，陳湯向甘延壽建議說：“少數民族國家因害怕而服從大國，這是他們的地位和本性所決定。西域諸國本來臣服匈奴。現在郅支單于威名遠揚，侵凌烏孫、大宛，常常為康居出謀劃策，想降服這兩個國家。如果郅支單于得到這兩個國家，勢必向北進攻伊利，向西攻取安息，向南排擠月氏、山離烏弋，不出幾年時間，西域諸國將盡為匈奴所有。而且郅支單于剽悍善戰，如果讓他長久發展下去，一定會成為西域的大患。郅支單于雖然居住地很遙遠，但是他們沒有堅固的城池和強弩防守，如果出動全部屯田官兵，命令烏孫軍隊跟隨，直指郅支單于住地，他們逃亡，無處可逃，防守而不能自保，千年大功可以一朝而成。”甘延壽也認為這是一個好計策，想先奏報朝廷，請求批准。
陳湯說：“如果朝廷與公卿大臣商議，事情一定不會同意，大策略不是一般人所能理解。”甘延壽不願意獨斷專行，沒有馬上行動。正考慮上書奏請，恰逢此時突然得病，只好將此事擱置一旁。甘延壽正在調理疾病的時候，陳湯獨自假稱皇帝的命令，出動西域各國的軍隊，車師戊己校尉屯田官兵，甘延壽得知後，大吃一驚，想要阻止他。陳湯大怒，握劍喝叱甘延壽說：“大部隊已經集合，你這小子想壞大家的事嗎？”甘延壽只得聽從他，指揮軍隊行軍布陣，新設定揚威、白虎、合騎各部隊，漢軍與屬國軍總計四萬多人，甘延壽、陳湯上疏彈劾自己假傳皇帝命令的罪責，陳述軍隊情況。
當天，甘延壽與陳湯就率領部隊分道前進，分為六支部隊，其中三支部隊從南路出發，跨過蔥嶺，取道大宛；另外三支部隊他們二人親自率領，從溫宿國出發，由北路進入赤谷城，經過烏孫，進入康居境內，直達闐池西面。恰巧碰上康居副王抱闐率領幾千騎兵侵犯赤谷城東部，殺害搶掠烏孫國王一千多人，搶走很多畜產。並從後面跟上漢軍，搶掠不少漢軍輜重。陳湯率軍進攻抱闐，消滅其四百六十人，奪回烏孫遭搶掠的百姓四百七十人，返回交給烏孫國王，奪回的馬牛羊用來供給軍隊食用。同時捕獲抱闐的貴族大臣伊奴毒。
接著進入康居東部邊境，命令軍隊不得搶掠，密傳康居貴族大臣屠墨來見，向他講明漢朝的威勢與誠信，與他飲酒定盟後才讓他離開。然後直接率軍前進，距離郅支單于的都城約六十里左右，軍隊停止前進，紮營下來。捕獲康居大臣貝色的兒子開牟作嚮導。貝色的兒子就是屠墨母親的弟弟，他們都怨恨郅支單于，因此漢軍完全弄清郅支單于的內情。
大敗郅支
第二天，甘延壽、陳湯率軍繼續前進，距城三十里處紮營。郅支單于派遣使者詢問漢軍為什麼來到這裡，漢軍回答說：“單于上書說處境困窘，打算歸服強大的漢朝，親自入朝朝見天子。天子可憐單于拋棄大國。在康居寄身，所以派都護將軍前來迎接單于妻子兒女，恐怕您受驚，所以不敢到達城下。”使者多次往返傳達報告。甘延壽、陳湯乘機斥責郅支單于說：“我們遠道而來，就是為了單于，但是至今沒有名王大人來見將軍，接待我們，單于怎么在大計策上這么疏忽，喪失主人接待賓客的禮節！軍隊遠道而來，人畜疲乏到極點，糧食用度也快用完，恐怕沒辦法自己返回，希望單于與大臣反覆考慮定奪。”
第三天，漢軍前進到郅支單于都城的都賴水邊，離城三里紮營布陣。遠遠望見郅支單于的都城上樹立五彩旗幟，幾百人身披戰甲登上城防守，並出動一百多名騎兵在城下往來馳騁，一百多名步兵在城門兩旁布魚鱗陣，練習用兵。城上人交替招喊漢軍說：“來攻打呀！”一百多名騎兵沖向漢軍營地，漢軍都張開弓弩對準騎兵，騎兵後退。漢軍增派官兵射殺城門外的騎兵與步兵，騎兵、步兵只得退回城中。甘延壽、陳湯命令部隊聽到進攻的鼓聲時，都迫近城下，四面圍城，各有分工，穿越深溝，堵住城門，大盾牌在前，戟弩在後，仰射城中樓上敵人。樓上人下樓逃跑。土城外有木結構的城，郅支單于的士兵從木城中射箭，射死很多外面的漢軍。城外點燃柴草焚燒木城。夜晚，幾百騎兵想衝出城，但被漢軍迎面射回。
起初，郅支單于得知漢軍到來，想要離開，但他懷疑康居王怨恨自己，會給漢軍做內應，又聽說烏孫各國的軍隊都出動，自認為沒地方可逃。郅支單于已經出城，卻又返回來，說：“不如堅守。漢軍遠道而來，不能久攻。”郅支單于於是披甲上城樓，他的幾十位閼氏夫人都用弓箭射擊。大軍射中郅支單于的鼻子，有一些夫人在戰鬥中死去。郅支單于下樓騎上戰馬，轉戰內宮。半夜以後，木城攻破，宮中人想進入土城，登上城樓呼喊，當時康居軍隊一萬多騎兵分成十多處，四周包圍，也與宮中人相呼應。夜裡幾次衝擊漢軍營地，沒有得到便宜，於是退卻。天亮時分，四面火起，漢軍官兵大喜，高呼著追逐敵人，鼓聲震天動地。康居軍隊退卻。漢軍四面排列大盾牌，同時進入城中。郅支單于以及一百多男女逃進內宮。漢軍縱火，官兵爭先，郅支單于受傷而死。軍侯代理丞杜勛斬取郅支單于首級，並找到漢朝使臣的二根節杖與谷吉等帶來的帛書。那些俘虜都給捕獲者。一共斬閼氏、太子、名王以下一千五百人一十八，活捉一百四十五人，一千多人投降，分給出動軍隊的西域各國的十五位王。
據功封爵
甘延壽、陳湯消滅郅支單于後，向朝廷上疏，請求將郅支單于與名王以下首級懸掛在京城外國人居住的槁街，向遠方示威，表明觸犯漢朝的人，即使很遠，也一定要誅殺。漢元帝同意他們的建議。
當初，中書令石顯曾想讓姐姐嫁給甘延壽，甘延壽不娶。丞相匡衡、御史大夫繁延壽討厭他們假託君命，而且都不讚許他們時，三人便共同壓制他們。甘延壽、陳湯回到京城後，朝廷評定功績，石顯、匡衡認為：“甘延壽、陳湯擅自興師，假託君命，天幸能夠不被誅殺；如果再賜給爵位，分封土地，那么以後奉命出使的人都會爭著想乘危僥倖，在蠻夷地面滋生事端，給國家招致災難，這個頭不能開。”漢元帝心裡讚許甘延壽、陳湯的功績，但卻難以駁回匡衡、石顯的意見，討論很久，仍不能議定。
後在前任宗正劉向的勸說下，於是漢元帝下詔說：“匈奴郅支單于背叛禮義，扣留殺害漢朝使者、官兵，特別違背道理，朕豈能忘掉這些！之所以猶豫沒有征討的原因，是難以興師動眾，勞動將帥，所以隱忍沒有說。現在甘延壽、陳湯看到對國家有好處，乘有利時機，聯合各屬國，擅自出動軍隊，假託君命前去征討，托天地祖宗保佑，誅滅郅支單于，斬得郅支單于以及閼氏、大臣、名王以下一千多人的首級。雖然超出規範，觸犯法律，不動用國庫的儲藏，拿敵人的糧食，供給軍隊使用，在萬里之外立功，威震百蠻，名揚四海。替國家除去殘賊，使戰爭的根源剷除，邊境終於得到安寧。但是還不能免除死亡的擔憂，罪責應當在於死扣法令，朕很哀憐他們！赦免甘延壽、陳湯的罪過，不治罪。”詔令公卿大臣討論對他們的封爵。參加討論的公卿大臣都認為按照軍法捕獲斬殺單于一條的規定執行封爵。只有匡衡、石顯認為：“郅支單于本是逃亡喪失國家的人，在極遠的地方竊取單于名號，不是真正的單于。”漢元帝按安遠侯鄭吉的慣例，打算封甘延壽、陳湯千戶，匡衡、石顯再度爭辯。於是封甘延壽為義成侯 ，陳湯為關內侯，食邑各三百戶，加賜黃金百斤。祭告天地宗廟、大赦天下後，授任甘延壽為長水校尉，陳湯為射聲校尉。
甘延壽後來升任城門校尉、護軍都尉，在職期間去世 ，朝廷賜諡號為壯侯。
史籍記載
懷遠縣誌截圖《漢書·卷七十·傅常鄭甘陳段傳第四十》
《懷遠縣誌》第507頁
