現代設計理論與方法:現代設計理論與方法，是華中科技大學出版社出版的圖書。 -百科知識中文網

內容簡介

《現代設計理論與方法》是一本介紹現代設計理論與方法的教材，主要介紹“現代設計”的概念、基本理論和套用技術，內容包括：計算機輔助設計、最佳化設計、有限元設計、穩健設計、虛擬設計、創新設計、智慧型設計及其他設計方法（如表面設計、綠色設計、摩擦學設計、動態設計、協同設計、工業設計等）。《現代設計理論與方法》內容豐富，具有系統性、先進性和實用性，並通過工程套用實例，加強讀者對相關設計理論的理解與設計方法的掌握與運用。

《現代設計理論與方法》取材新穎，內容充實，反映了編著者長期的研究成果和國內外的研究進展，可作為高等學校機械工程類及相關專業高年級本科生的教材，也可作為工程技術人員繼續教育的培訓教材或研究生的參考書。

序言

“中心藏之，何日忘之”；在新中國成立60周年之際，一時隔“21世紀高等學校機械設計製造及其自動化專業系列教材”出版9年之後，再次為此系列教材寫序時，《詩經》中的這兩句詩又一次湧上心頭，衷心感謝作者們的辛勤寫作，感謝多年來讀者對這套系列教材的支持與信任，感謝為這套系列教材出版與完善作過努力的所有朋友們。

追思世紀交替之際，華中科技大學出版社在眾多院士和專家的支持與指導下，根據1998年教育部頒布的新的普通高等學校專業目錄，緊密結合“機械類專業人才培養方案體系改革的研究與實踐”和“工程製圖與機械基礎系列課程教學內容和課程體系改革研究與實踐”兩個重大教學改革成果，約請全國20多所院校數十位長期從事教學和教學改革工作的教師，經多年辛勤勞動編寫了“21世紀高等學校機械設計製造及其自動化專業系列教材”。這套系列教材共出版了20多本，涵蓋了“機械設計製造及其自動化”專業的所有主要專業基礎課程和部分專業方向選修課程，是一套改革力度比較大的教材，集中反映了華中科技大學和國內眾多兄弟院校在改革機械工程類人才培養模式和課程內容體系方面所取得的成果。

這套系列教材出版發行9年來，已被全國數百所院校採用，受到了教師和學生的廣泛歡迎。目前，已有13本列入普通高等教育“十一五”國家級規劃教材，多本獲國家級、省部級獎勵。其中的一些教材（如《機械工程控制基礎》《機電傳動控制》《機械製造技術基礎》等）已成為同類教材的佼佼者。更難得的是，“21世紀高等學校機械設計製造及其自動化專業系列教材”也已成為一個著名的叢書品牌。

內容簡介

本書重點介紹了現代設計理論與方法中的基本理論與方法，具體內容包括：最佳化設計、摩擦學設計、計算機輔助設計、可靠性設計、創造性設計、反求工程設計、綠色設計、人機工程學和設計方法學。在編寫過程中，儘可能將所講授理論方法與工程中的實際問題相結合，通過算例使學習者更容易對所述現代設計理論與方法的基本內容加以理解和掌握。另外，本書附有課堂討論和設計實驗兩部分內容，以加強學習的效果。本書各章附有相應的習題，供教學中使用。

本書可作為機械工程類各專業高年級本科生的教材，亦可作為這些專業研究生和其他相近專業本科生、研究生的參考教材，以及工程技術人員的參考書。

前言

現代設計理論與方法是隨著當代科學技術發展起來的，其中許多內容與計算機的廣泛套用緊密聯繫在一起。由於現代設計理論與方法內容繁多，涉及面極廣，作者在多年從事相關各門現代設計理論課程教學實踐和參考了目前國內外主要教材的基礎上，根據現代設計理論與方法的特點，選取了9個部分的內容作為本書編寫的主要內容。這些內容既具有現代設計理論與方法明顯的特點，又具有一定的代表性。本書可作為50~80學時的機類和近機類專業本科生和研究生的“現代設計理論與方法”課程教材，其中各章的內容具有一定的獨立性，因此可以單獨講授、選講或全講。本書各章節都附有相應的習題供教師在教學中選用。另外，本書給出了部分課堂討論和設計實驗事例供教師在課堂教學中選用，其目的在於通過這些實踐加強學生的學習效果。本書還加入了中英文索引，以方便快速檢索本書內容。

本書在借鑑國內外相關教材的基礎上，重點介紹現代設計理論與方法中的基本理論。在編寫中，我們希望能夠儘量突出創造性、最佳化性和系統性的特點，在闡明基本科學理論和方法的基礎上，通過算例，將理論與實際設計問題相結合，以達到拓寬學生視野，加強學生運用現代設計理論與方法進行分析和解決設計問題的能力，使學生既能掌握相關基礎知識，又能掌握產品開發中的創新思維和現代設計的主要步驟。

本課程的學習要求在於培養學生的創新性，培養學生運用最佳化設計、可靠性設計、計算機輔助設計等方法解決設計問題的能力。學好本門課程除了要用到理論力學、材料力學、機械原理、機械設計等專業基礎知識外，還需要具備一定的計算機編程能力、機率與數理統計基礎知識和數值計算方面的知識。除了通過學習了解現代設計理論與方法的概念與特點，以及產品設計一般進程之外，讀者還應當掌握本書介紹的主要現代設計理論與方法。現代設計理論與方法涉及面廣，一般課堂教學學時有限，這就需要學生不僅要通過課堂學習來掌握一些基本的現代設計理論與方法，而且還需要結合課外自學了解更多課內未介紹的內容。要求通過學習，能夠對現代設計理論與方法的總體內容有全面的了解，並能夠掌握常用的主要現代設計方法，以便今後在工作和研究中運用這些方法設計出創新的和性能更佳的產品，以及獲得新的科技成果。

本書由黃平擔任主編，參加各章節編寫的人員有：黃平（第1、3、5章）、李旻（第2章、附錄A.1、附錄A.2、附錄B）、李靜蓉（第4章）、劉小康（第6、10章）、張東（第7、8章、附錄A.3、附錄A.4）、李琳（第9章）。在策劃和編寫過程中，陳揚枝教授對摩擦學設計一章的內容編寫提供了很好的建議，並給予了大力的支持，在此特表謝意。在編寫過程中，作者參閱了大量文獻資料，並採用了這些資料中的不少結果，我們在各章後面給出了這些文獻，以供讀者進一步的深入學習，同時在此向這些文獻的作者表示衷心的感謝。

歡迎廣大讀者對本書提出寶貴意見。

編者

2010年7月

部分章節

第1章緒論現代設計理論與方法第1章緒論1.1現代設計理論與方法內容簡介現代設計理論與方法是指不同於強度、剛度等傳統設計理論的新興的設計理論與方法，特別是利用計算機進行最佳化分析、輔助設計和可靠性計算等的設計理論與方法。因此，現代設計理論與方法的內容覆蓋面很廣，它應當包括所有非傳統意義上的新興設計理論與方法。本教材涵蓋的現代設計理論與方法包括以下幾個。1. 最佳化設計最佳化設計（optimal design）是從多種設計方案中選擇最佳方案的設計方法。最佳化設計以最最佳化理論為基礎，以計算機為工具，根據設計問題確定設計變數，建立目標函式，在滿足給定的各種約束條件下，尋求最優的設計方案。最佳化技術首先於第二次世界大戰期間在軍事上得以套用。機械最佳化設計始於20世紀60年代，並在生產中得到了廣泛的套用。1967年，R.L.福克斯等發表了機構最最佳化論文[1]。之後，C.S.貝特勒等利用幾何規劃解決了液體動壓軸承的最佳化設計問題[2]。通常機械最佳化設計問題多屬於非線性規劃問題。隨著數學理論和電子計算機技術的發展，最佳化設計在工程中得到廣泛的套用和發展，已成為一門新興的獨立的工程學科。通常一個設計方案可以用一組參數來表示，稱為設計變數。如何找到一組最合適的設計變數，使所設計的產品結構最合理、性能最好、質量最高、成本最低或指定技術經濟指標最優，具有市場競爭能力，同時設計的時間又不要太長，這就是最佳化設計所要解決的問題。一般來說，最佳化設計有以下幾個步驟：建立數學模型、選擇最最佳化算法、程式設計、判斷搜尋結果、確定計算終止條件、運行計算得到最優解。2. 摩擦學設計摩擦學設計（tribology design）在節能、減材、環保等方面有著重要的作用，是機電產品設計中的重要環節，如在動力系統、傳動系統、運動系統以及零部件加工過程中廣泛存在摩擦學問題。通過摩擦學設計，將有助於產品的設計創新和性能的提高。因此摩擦學設計理論不僅具有重要的學術價值，而且可以為解決重大工程技術問題提供有效的手段和方法。摩擦學設計在機械零部件的設計中主要體現在兩個方面：一是通過摩擦學設計來減少工作過程中的摩擦和磨損；二是利用摩擦來傳遞運動和動力。摩擦學是研究相對運動的相互作用表面及其有關理論和實踐的一門科學技術，是由多學科組成的綜合研究領域，涉及機械學、表面與界面、物理與化學、材料學、流體力學、固體力學、非線性動力學等領域。摩擦學設計的任務是從機械學、材料科學與表面科學的角度出發，探索新產品設計的新原理和新功能，實現產品減摩耐磨損設計，以達到節省能量、提高壽命和機械工作性能的目的。3. 計算機輔助設計　計算機輔助設計(computer aided design，CAD)是利用計算機進行工程和產品輔助設計工作。計算機承擔計算、信息存儲和繪圖等工作。通過計算機對不同方案進行大量的計算、分析和比較，可以結合最佳化設計決定最優方案；計算得到的設計信息存放在計算機中，以保證能夠快速地檢索和輸出；把繁重的工作圖繪製工作交給計算機完成，進行圖形顯示、設計修改、圖形編輯（放大、縮小、平移和鏇轉），並最終輸出設計結果圖形。因此，CAD不僅能夠大大減輕設計人員的勞動，還可以縮短設計周期和提高設計質量。20世紀50年代誕生了第一台計算機繪圖系統，出現了具有簡單繪圖輸出功能的計算機輔助設計技術。隨後，出現了手動游標、圖形輸入板等多種形式的圖形輸入設備。隨著超大規模積體電路製成的微處理器和存儲器件的出現和計算機工作站的問世，使CAD技術在中小型企業得到普及。隨著CAD技術向標準化、集成化、智慧型化方向發展，出現了計算機集成製造系統。隨著固化技術、網路技術、多處理機、智慧型技術和並行處理技術的套用，使CAD技術正在趨向於自動化和智慧型化，並在機械設計、機器人、工廠自動化、電子電氣、軟體開發、服裝業、出版業、土木建築、地質等各個領域得到廣泛套用。4. 可靠性設計可靠性設計（reliability design）是保證系統及其零部件滿足給定的可靠性指標的設計方法。可靠性理論是在第二次世界大戰期間發展起來的。可靠性理論套用於機械設計方面的研究始於20世紀60年代，首先套用于軍事和航天等工業部門，隨後逐漸擴展到民用工業。對於一個複雜的產品來說，為了提高整體系統的性能，都是採用提高組成產品的每個零部件的性能來達到的；這樣就使得產品的造價昂貴，有時甚至難以實現，例如對於由幾萬甚至幾十萬個零部件組成的很複雜的產品。可靠性設計所要解決的問題就是如何從設計中來解決產品的可靠性，以改善對各個零部件可靠度的要求。可靠性設計的內容包括對產品的可靠性進行計算、可靠性分配及可靠性評定等工作。所謂可靠性，則是指產品在規定的時間內和給定的條件下，完成規定功能的能力。可靠性不但直接反映產品各組成部件的質量，而且它還影響到整個產品質量性能的優劣。可靠性分為固有可靠性、使用可靠性和環境適應可靠性等。可靠性的度量指標一般有可靠度、無故障率、失效率等。5. 創造性設計創造性設計（creative design）是現代設計的基礎。人類的發展史就是一個不斷創新的歷史。只有充分發揮創造性，採用創造性設計方法，才能設計出富有新穎性的、先進的產品，最大限度地滿足市場需求。各國都非常重視創造性設計，紛紛進行研究和套用。在高校也開設有創造性設計課程，以培養學生的創造力，如學生創造發明過程中的分析能力、創造性思維和創造技法。創造性設計將會顯著提高產品的競爭力，因此應當受到特別的重視。6. 反求工程設計反求工程設計（reverse engineering design）又稱逆向工程或反向工程設計，是指採用一定的測量手段對實物或模型進行測量，再根據測量數據通過三維幾何建模方法重構實物的計算機輔助設計過程。反求工程設計是一個從樣品生成產品數位化信息模型，並在此基礎上進行產品設計開發及生產的過程。反求工程研究的主要內容包括：反求工程的類型，反求工程涉及的知識範圍，相似理論與相似設計方法，設備設計及製造工藝反求等。7. 綠色設計綠色設計（green design）是指在產品及其壽命周期全過程的設計中，考慮產品功能、質量、開發周期和成本的同時，還要充分考慮對資源和環境的影響，使產品及製造過程對環境負面影響儘可能小，以符合環保標準。綠色設計的主要內容包括：材料選擇、製造工藝選擇、可拆卸性和回收設計等。通過分離不同成分的材料，採用不同工藝方法處理零部件，設計易於拆卸結構，使產品易於處理、回收和再利用，使其對環境的影響儘可能低。同時，設計的產品應當維護方便。有時還需要對產品包裝和物流運輸等進行設計，以減少資源的消耗和過程對環境的影響。綠色設計的主要方法有：模組化設計、循環設計、組合設計、可拆卸設計和綠色包裝設計等。8. 人機工程學人機工程學（human?machine engineering）是研究人?機器?工作環境之間相互關係的科學。其所涉及的內容和範圍廣泛，因而世界各國對該學科的命名各不相同，如：人類工程學（human engineering）、人的因素工程學（human factors engineering）、人類工效學(ergonomics)等。在我國，較普遍採用的名稱是人機工程學。人機工程學套用人體測量學、人體力學、勞動生理學、勞動心理學等學科的研究方法，探討人在工作中影響心理狀態的因素以及心理因素對工作效率的影響等。它的主要研究內容包括：物理學原理的套用、人體特性的套用、工作環境的分析及套用和實際工作經驗的分析及套用。9. 設計方法學設計方法學（design methodology）是研究產品設計規律、設計程式、設計思維和工作方法的一門綜合性科學。設計方法學以系統工程的觀點分析設計整體進程、設計方法和設計手段等的問題。在總結設計規律、啟發創造性的同時，它還研究現代設計理論、科學方法、先進手段和工具在設計中的綜合運用。因此它對開發新產品、改造舊產品和提高產品的市場競爭能力有著十分重要的作用。設計方法學的研究內容包括：分析設計過程及各設計階段的任務；研究解決設計問題的邏輯步驟和應遵循的工作原則；研究並促進各種創新技法在設計中的運用；通過各種現代設計理論和方法在設計中的套用,實現產品的科學合理設計,提高產品的競爭能力；深入分析各種類型設計的特點，有針對性地進行設計；利用系統工程方法編制設計信息庫等。本書中的設計方法學將重點介紹機械產品方案設計的功能設計方法以及機械產品的結構設計方法。1.2課程學習基本要求1. 課程目的本課程的主要任務是闡明現代設計領域中普遍運用的科學理論、方法及設計規律，並通過對幾種常用現代設計理論與方法的學習，達到拓寬學生視野、增強學生創新意識的目的，使學生在掌握傳統設計理論的基礎上，建立起運用現代設計理論與方法進行設計與分析的理念。掌握現代設計理論相關基礎知識，了解新產品的開發過程，掌握產品開發中的創新思維和設計方法，為今後的學習和研究打下堅實的基礎。2. 課程的基本特點1）創造性與傳統的設計方法採用相對封閉收斂式的設計思維、強調經驗類比和主觀決策相比較，現代設計理論與方法強調創新性，例如在創造性設計中，現代設計理論通過抽象設計構思和擴展發散的設計思維，對多種可行的創新方案進行廣泛深入的評價決策，不斷尋求最優方案，因此大大突出了創新意識。2）最優性現代設計理論與方法強調通過利用計算機綜合集成能力和最新科技成果尋求設計問題的最優方案。在性能、經濟、工藝、使用條件和環境等多種約束條件下，通過適合的最佳化方法確定最終設計參數。另外，可靠性設計利用機率論和統計學方法，通過考慮載荷、材料性能、實驗結果等隨機性進行可靠性設計，以解決載荷、應力和材料性能不確定的問題，以取得高可靠性設計結果。3）系統性設計方法學是通過從抽象到具體的發散的思維方法，以產品的功能、原理、結構為構思的模型，經過橫向變異和縱向綜合，由計算機構造多種可行方案，經評價優選出最佳方案。創造性設計學是運用創造技法，充分發揮想像力進行創造性辯證思維，形成新的設計構思。4）社會性用現代設計理論與方法開發新產品，不僅要求從產品概念的形成到產品報廢處理的全壽命周期中的問題，同時，還要考慮人機協調、環境保護等多種與人們活動和社會有關的因素。設計過程中的產品規劃、原理方案設計、技術設計和施工設計等都要按市場的經濟規律進行定量的市場分析、優勢分析、經濟分析和價值分析，都是以社會和市場的客觀需求為指導思想進行全面考慮，並以並行工程方法指導企業的生產和管理。此外，智慧型性和動態性也會在現代設計理論與方法中得以體現。現代設計理論與方法採用現代化工具，利用功能強大的軟體，實現計算機輔助設計、計算機繪圖和計算機輔助製造等，可以大大提高設計精度和設計速度。3. 本課程的要求通過本課程的學習，要求學生掌握系統分析設計法，在學習和工作中培養創新性,具有運用最佳化設計法、計算機輔助設計、可靠性設計法等分析法解決具體問題的能力。現代設計理論與方法涉及面廣，而課堂教學學時有限，這就需要學生不僅要結合課堂學習來掌握一些基本理論與方法，而且還需通過課外自學瀏覽了解更多在課內未介紹的現代設計方法。要求學生學習後能對現代設計理論與方法的總體情況有一個全面的了解，對常用設計方法能比較熟悉，以便今後在學習工作中能夠運用這些方法不斷地創造新的產品和新的成果。學好本門課程，還需具備高級計算機算法語言編程上機能力、機率論與數理統計以及數值分析方面的初步知識。在學完本課程後，應了解現代設計方法的概念與特點；了解機械產品設計的各個階段和一般進程；並能夠運用本書介紹的主要現代設計方法解決一定的設計問題。隨著科學技術的飛速發展，現代社會對生產與生活、物質與精神提出了更多更高的要求，這就需要設計人員學習和掌握現代科學設計理論和方法，開拓思路，提高現代設計能力，使所設計的產品具有先進性、可靠性、經濟性、及時性和最優性等。第1章習題1.1試述現代設計理論與方法的含義。1.2機械設計中哪些需要用到現代設計理論與方法進行設計？1.3請給出傳統設計和現代設計間的區別。1.4指出現代設計理論與方法的主要特點。1.5試述學習現代設計方法課程的意義與任務。參考文獻[1]R.L. Fox and K.D. Willmert, Optimum design of curve generating linkage with inequality constraints, J. Engng for Industry, 1967, 89： 144?152[2]C.S. Beightler, T.C. Lo and H.G. Rylander, Optimum design by geometric programming, J Eng Ind, 1970, 92： 191?196[3]武良臣.現代設計理論與方法.北京：中國礦業大學出版社，1998[4]應錦春.現代設計方法.北京：機械工業出版社，2000[5]黃雨華，董遇泰.現代機械設計理論和方法.瀋陽：東北大學出版社，2001[6]鍾志華，周彥偉.現代設計方法.武漢：武漢理工大學出版社，2001[7]王啟廣.現代設計理論.北京：中國礦業大學出版社，2005[8]張鄂.現代設計理論與方法.北京：科學出版社，2007[9]王鳳岐.現代設計方法及其套用.天津：天津大學出版社，2008[10]張濟川，金德聞，黃靖遠，孟永鋼.現代機械設計理論與方法.清華大學研究生講義，2000第2章優化設計現代設計理論與方法第2章優化設計1. 掌握最佳化設計數學模型中的三要素，並能夠根據實際要求建立最佳化數學模型； 2. 熟悉一維搜尋法，特別是0.618法； 3. 熟悉求解無約束多維最佳化問題的主要算法，如最速下降法、共軛方向法； 4. 掌握直接和間接求解有約束多維最佳化的主要算法； 5. 能夠用常用方法處理多目標最佳化問題。2.1概述最佳化設計是藉助最最佳化設計數值計算方法和計算機技術，求取工程問題最優設計方案的方法。人們在機械、土木、水利、電力、化工、材料等工程實踐中從事的每一項設計，總是力求尋找一組合理的設計參數，使得由這組設計參數確定的設計方案既滿足各種設計要求，又能達到最佳的技術經濟指標，這就是最最佳化問題。幾乎所有的工程設計都會有最佳化設計問題。在常規的工程設計過程中，由於設計手段和方法的限制，設計者不可能在一次設計中得到多個方案，也不可能進行多方案的分析比較，更不可能得到最佳的設計方案。人們只能在漫長的設計生產過程中，通過不斷地探索與改進，逐步使設計方案趨於完善。現代電子計算機的發展與普及，以計算機為基礎的數值計算方法的成熟和套用，為工程問題的最佳化設計提供了先進的手段和方法，這就是最最佳化設計方法。最佳化設計與常規設計的區別可以歸納為以下兩點：（1）最佳化設計可以自行調整變數，直至找到最完善、最合理的設計方案；而常規設計雖然也是追求最好的設計方案，但只能憑藉設計師的經驗進行，因此不一定能找到最合適的設計方案。（2）最佳化設計可以通過計算機進行快速運算、分析，在多個設計方案中選擇最佳設計；而常規設計只能依靠人工操作，因此要完成一個優秀的設計需要耗費大量的時間。對工程問題進行最佳化設計一般要進行兩項工作。第一是將實際問題抽象地用數學模型來描述，包括選擇設計變數、確定目標函式、給出約束條件；第二是對數學模型進行必要的簡化，並採用適當的最最佳化方法求解數學模型。2.2最佳化設計數學模型建立最佳化數學模型是求解最佳化問題的基礎，有了正確合理的模型，才能參照選擇適當的方法來求解。數學模型的建立要求具備與實際問題有關的專業技術知識，確定最佳化追求的目標，並推導出相應的目標函式；分析影響目標函式的因素有哪些，它們之間的相互關係如何，選擇哪些參數作為設計變數，同時又受到哪些約束條件的限制。目標函式、設計變數和約束條件是最最佳化問題數學模型的三個基本要素。2.2.1設計變數和設計空間1. 設計變數工程中任何一個設計問題都有設計參數，在這些設計參數中，有一些可以根據實際情況預先確定為常數，在設計過程中不發生變化，而另一些則需在設計過程中確定。因此，設計變數是表達設計方案的一組基本參數。如幾何參數：零件外形尺寸、截面尺寸，機構的運動學尺寸等；物理參數：構件的材料、截面的慣性矩、固有頻率等；性能導出量：應力、應變、撓度等。總之，設計變數是對設計性能指標有影響的量，應在設計過程中選擇，並且應是互相獨立的參數。一般來說設計變數越多，最佳化過程就越複雜。在確定設計變數時，要首先從設計參數中分清哪些參數是獨立的、主要的，哪些參數是非獨立的、次要的。可以將獨立的、重要的參數列為設計變數，其餘的可作為常量或因變數，儘量減少設計變數的個數。如空心傳動軸的設計中，當選定內徑d和外徑D作為獨立變數時，壁厚δ就是因變數，因為δ=0.5(D-d)。當選擇外徑D和壁厚δ為獨立變數時，內徑d=D-2δ就是因變數。因此，空心傳動軸的設計變數只有兩個。全體設計變數可以用向量來表示，包含n個設計變數的最佳化問題稱為n維最佳化問題，這些變數可表示成一個n維列向量x=x1x2?xn=[x1,x2,…,xn]T（2.1）式中，xi（i=1，2，…，n）表示第i個設計變數。當xi的值都確定之後，向量x就表示一個設計方案。2. 設計空間一組設計變數可看作設計空間中的一個點，稱為設計點。所有設計點的集合則構成一個設計空間。設計空間中的一個設計點x可用一個以坐標原點為起點，以x為終點的向量表示，如圖2.1所示為二維平面與三維空間內的設計點。當n>3時，向量x就無法用以x1，x2，…，xn為坐標軸組成的空間圖示出來，該空間是一個抽象的超空間，稱為n維空間，或稱n維歐氏空間。因為設計變數xi（i=1，2，…，n）都是實數，所以這n個獨立變數組成的n維向量空間是一個n維實空間，用Rn表示。具有n個設計變數的最佳化問題的每一個方案x都對應於n維向量空間的一個向量或一個點。圖2.1二維平面與三維空間內的設計點(a) 二維平面； (b) 三維空間最佳化設計中的設計變數一般認為是連續變數，並有上下限，即ai≤xi≤bi，i=1,2,…,n（2.2）但在實際工程設計中應注意到，設計變數可能是離散的，尤其是在機械最佳化設計中，如齒輪的齒數、模數，鋼絲的直徑，鋼板的厚度，型鋼的截面尺寸等參數都是離散的。設計變數的個數稱為自由度，自由度越大，可供選擇的方案就越多，最佳化的難度就越大，計算的程式也越複雜，計算量也越大。所以在建立數學模型時，應儘可能把對最佳化目標沒有影響或者影響不大的參數作為常量，而只把對最佳化目標影響顯著的參數作為設計變數，以減少設計變數的數目，而又儘量不影響最佳化效果。2.2.2約束與可行域1. 約束的定義工程設計中，設計變數的取值通常要受到某些條件的限制，如機械設計中的強度要求、剛度要求、頻率要求、速度要求、尺寸要求、工藝要求等。在最佳化設計中，為了得到可行的設計方案，也必須根據具體要求，給設計變數加上種種限制，這就是約束條件。根據約束的特性，可分為以下兩種。（1）邊界約束：直接用來限制設計變數的取值範圍，如長度、重量的變化範圍，可直接獲得。（2）根據某種性能指標要求推導出來的限制條件，如對應力、變形、振動頻率、機械效率等性能指標的限制或者對如位移、速度、加速度等運動參數限制等。這些約束可根據設計規範中的設計公式或通過力學分析導出的約束函式來表示。約束條件可表示成如下形式。（1）不等式約束gu(x)=gu(x1,x2,…,xn)≤0，u=1,2,…,m（2.3）（2）等式約束hv(x)=hv(x1,x2,…,xn)=0，v=1,2,…,p,且p<n（2.4）等式約束的個數p必須小於設計變數的個數n，否則該最佳化問題就成了沒有最佳化餘地的既定系統。等式約束hv(x)=0 也可以用hv(x)≤0 和-hv(x)≤0 兩個不等式約束來代替。不等式約束gu(x)≥0 可以用-gu(x)≤0 的等價形式代替。2. 可行域與不可行域滿足所有約束條件的方案點的集合稱為可行區域，簡稱可行域，用D表示。可行域可以是無限集、有限集，或者是空集。可行域內的方案點稱為可行方案點，簡稱可行點（或內點），否則稱為不可行方案點（或外點）。當方案點位於某個不等式約束的邊界上時，稱為邊界點。邊界點是可行點，是該約束所允許的極限方案。如約束條件：3x1+2x2≤12x1+2x2≤8x1≥0x2≥0所圍成的區域是圖2.2中的四邊形OABC，頂點O、A、B和C坐標值分別為(0，0)，(0，4)，(2，3)和(4，0)，在該區域的內部及邊界上的每一個點都是可行點。又如以下三個約束條件:g1（x）=x21-x2+1≤0g2（x）=-x1+x2-2≤0g3（x）=-x1≤0的約束邊界線所圍成的可行域如圖2.3所示，x1為可行點，x3為不可行點，x2為邊界點。圖2.2線性約束的可行域圖2.3可行域與可行點3. 起作用約束根據約束條件的作用情況，還可將約束劃分為起作用約束（又稱緊約束、有效約束）和不起作用約束（又稱松約束、無效約束）。若最佳化問題的可行點xk落在某個不等式約束gu(x)≤0的邊界上，即xk使gu(xk)=0成立，則稱該約束為xk的一個起作用約束，否則為不起作用約束。對於每一個可行點xk來說，等式約束都是起作用約束。對同一最佳化目標來說，約束條件越多，可行域就越小，可供選擇的方案也就越少，計算求解的工作量也隨之增大。所以，在確定約束條件時，應在滿足要求的前提下，儘可能減少約束條件的數量。同時也要注意避免出現重複的約束、互相矛盾的約束和線性相關的約束。2.2.3目標函式與等值線1. 目標函式最佳化設計的目的在於找到最優的設計方案。對於不同的問題，最優方案的標準是不一樣的。對於某些問題，也可能有幾個判斷標準。目標函式是用於評價設計方案好壞的函式，又稱為評價函式。目標函式是用設計變數來表示的最佳化目標的數學表達式，通常表示為f(x)=f(x1,x2,…,xn)（2.5）求解最佳化問題的實質就是通過改變設計變數，獲得不同的目標函式值，通過比較目標函式值的大小來衡量方案的優劣，從而找出最優方案。目標函式的最優值可能是最大值，也可能是最小值，在建立最佳化問題的數學模型時，一般將目標函式的求優表示為求極大值或極小值。求目標函式f(x)的極大化等效於求目標函式-f(x)的極小化，為規範起見，將求目標函式的極值統一表示為求其極小值。在最佳化問題中，如只有一個目標函式，則其為單目標函式最佳化問題；如有兩個或兩個以上目標函式，則其為多目標函式最佳化問題。目標函式越多，對最佳化的評價越周全，綜合效果也越好，但是問題的求解也越複雜。2. 等值線要知道一個目標函式的最優點在設計空間中所處的位置，就需要了解目標函式的變化規律。對於簡單的問題，等值線或等值面不僅可以直觀地描繪函式的變化趨勢，而且還可以直觀地給出極值點的位置。令f(x)=C，則滿足此式的點x在設計空間中定義了一個點集。當n=2時，該點集可能是設計平面中的一條直線或曲線；當n≥3時，該點集可能是設計空間中的一個平面、曲面或超曲面。在這種線或面上所有點的函式值均相等。因此，這種線或面就稱為函式的等值線或等值面。當C取一系列不同的常數值時，可以得到一組形態相似的等值線或等值面，稱為函式的等值線簇或等值面簇。圖2.4所示為某二維問題的目標函式f(x)的曲面。令目標函式f(x)的值分別為a、b、c、d，則與這些函式值相對應的方案點的集合是x1Ox2坐標平面內的一簇曲線，每條曲線上的各點都對應相等的目標函式值，這些曲線即為等值線。從圖2.4可以看出，等值線簇反映了目標函式值的變化規律，等值線越往裡，目標函式值越小。對於有中心的曲線簇來說，等值線簇的中心即為目標函式的無約束極小點x*。所以從幾何意義來說，求目標函式的無約束極小值點就是求其等值線簇的中心。圖2.5所示為f(x)=x21+x22-4x1+4的函式曲面圖（鏇轉拋物面），以及用平面f(x)=C切割該拋物面所得交線在x1Ox2平面內的投影，該投影就是函式f(x)的一簇等值線，這簇等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓，顯然圓心為該函式的極小值點。

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