流形上的偏微分運算元
正文
定義在整個微分流形上的偏微分運算元。在一個未知函式的情形,m 階線性的偏微分運算元是M上C∞函式的集合C∞(M)到C∞(M)的一個線性映射l,而在每一坐標區域中,l可表示為![流形上的偏微分運算元](/img/0/649/ml2ZuM3X4cTMxEDMxQTNxgDM5ETMwADMwADMwADMwADMxAzL1EzL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
多個未知函式的線性偏微分運算元 l可定義如下:設
![流形上的偏微分運算元](/img/d/9d2/ml2ZuM3X5IzN1QTO0EDMxgDM5ETMwADMwADMwADMwADMxAzLwEzL5IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![流形上的偏微分運算元](/img/e/37c/ml2ZuM3X5IDNyEDMxQTNxgDM5ETMwADMwADMwADMwADMxAzL1EzL5IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
在局部坐標下,微分運算元的主符σ(l)(ξ)可表示為
對運算元l而言,可以定義其象
![流形上的偏微分運算元](/img/4/af4/ml2ZuM3X0YDN2EDMxQTNxgDM5ETMwADMwADMwADMwADMxAzL1EzL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
在微分幾何中時常要求解由微分運算元所定義出來的偏微分方程,這種方程的解是否存在,有多少,往往不僅依賴於方程本身,而且依賴流形的性質。例如貝爾特拉米-拉普拉斯方程
Δ u=0
在緊緻流形上就只有常數解。
在微分流形中也可以定義非線性的偏微分方程,其重要性也與日俱增,極小曲面方程,蒙日-安培方程、楊-米爾斯方程都是非線性的偏微分方程。