基本介紹
決定性公理是公理集合論用語。可添加到公理集合論ZF系統中去的一條公理，簡記為AD。其內容為：對於每一個集合S⊆N↑N，對策G(S)都是決定性的。其中的N是自然數集，N↑N是{f| f：N→N}，G(S)是與集合S相關的二人對策，所謂二人對策G(S)，是指：對局者甲和乙依次選取自然數：a，b，a，b，…(甲選取a，a，…;乙選取b，b，…)，<a，b，a，b，…>是一個函式g：N→N，即g∈N↑N，如果g∈S，則對局者甲勝，否則為對局者乙勝。如果甲(或乙)按照某種策略g取值一定能獲勝，則稱甲(或乙)有必勝策略，並稱對策G(S)是決定性的。決定性公理與選擇公理(簡記為AC)是彼此衝突的。可以證明，在公理集合論ZFC(即ZF+AC)系統中，決定性公理不成立。反之，如果把決定性公理添加到公理集合論ZF系統中去(記作ZF+AD)，則有某些弱的選擇公理成立。例如，在ZF+AD系統中，實數的非空子集的每一個可數簇都有一選擇函式。
相關說明及結論
決定性公理對 的每一個子集A，我們定義下面的遊戲G：甲、乙二人對局，甲選取自然數a，乙選取自然數b，接著甲取數a，乙取數b，從而形成二無窮序列
決定性公理甲
決定性公理乙
決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理若所得結果序列 在A中，則甲勝，否則乙勝。甲的策略σ為一函式，使得對任何n， ，乙的策略 也為一函式，使得對任何n， ， 對甲(乙)來說是必勝策略，若甲(乙)運用它作遊戲G時不管乙(甲)如何著法，他必勝。
遊戲G稱為決定的，若甲、乙二人中有一人必有必勝策略。
決定性公理(Axiom of Determinateness)
決定性公理AD：對每一個 ，遊戲G是決定的；
決定性公理AD與選擇公理AC不相容 。
決定性公理定理 若所有實數集是良序的，則存在 ，使得G是非決定的。
決定性公理
決定性公理
決定性公理證明 設 為一無窮基數使得 ，運用超窮遞歸構造集合 ，使得
決定性公理[1]
決定性公理[2]
決定性公理[3]
決定性公理令 ，則A是非決定的 。
決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理 決定性公理
決定性公理
決定性公理
決定性公理 決定性公理
決定性公理 決定性公理
決定性公理
決定性公理 決定性公理
決定性公理
決定性公理因為策略數為 ，所以令 是所有策略的枚舉。設 ，假定對所有 已確定。（1）若lim α，則令 ；（2）若suc(α)，令α=β+1，則 如下確定：若甲使用策略 ，而乙任意地以b={b，b，…}與甲遊戲，則共有 個不同的對局，以 表示其中任意一個對局。因 ，故存在 使得 。由假定， 已被良序。因此我們可選取有此性質的最小b，並且 。同樣地，若乙使用策略 ，則存在a使得 ，這裡 表示已使用策略 而甲取 中的元與之遊戲的對局。這時選取這樣的最小a令 。
決定性公理
決定性公理令 ，則我們獲得遊戲G，因為任意策略σ是 中的一個，由 的構造可知，甲、乙二人都無必勝策略。
決定性公理與弱選擇公理之一——可數選擇公理是相容的。
可數選擇公理(Countable Axiom of choice)：非空集的每一個可數族有選擇函式。
定理 若決定性公理成立，則實數的任一個非空子集組成的可數族有選擇函式。
決定性公理
決定性公理 決定性公理 決定性公理證明 設X={X，X，...}是 的非空子集組成的可數族，則X有選擇函式。事實上，若甲玩a={a，a，...}．乙玩b={b，b，...}，甲沒有決勝策略，因為一旦甲取數a以後，乙能容易地玩b使 ，乙玩b={b，b，…}，甲以{a，0，0…}與之對局，則結果序列ab… 。可見乙有必勝策略 ，於是在X上定義函式f，使得f(X)是乙運用 策略時，對抗甲的{n，0，0，…}的那個b 。
