殆素數

殆素數的定義

所謂"殆素數"就是素數因子(包括相同的與不同的)的個數不超過某一固定常數的正整數。例如，15=3×5有2個素因子，19有1個素因子，27=3×3×3有3個素因子，45=3×3×5有3個素因子．可以說它們都是素因子數不超過3的殆素數。

殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數，雖然現在不能證明N是兩個素數之和，但是可以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個數都不太多，譬如說素因子個數不超過10。現在用“a+b”來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。

“a + b”問題的推進

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年，義大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍後證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”， 中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及義大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫

1729年~1764年，哥德巴赫與歐拉保持了長達三十五年的書信往來。1742年6月7日由德國數學家哥德巴赫給大數學家歐拉的信中，提出把自然數表示成素數之和的猜想，人們把他們的書信往來歸納為兩點：

（1）每個不小於6的偶數都是兩個奇素數之和．例如，6=3+3，8=5+3，100=3+97，……．

（1）每個不小於9的奇數都是三個奇素數之和，例如，9=3+3+3，15=3+7+5，……99=3+7+89，……．

這就是著名的哥德巴赫猜想．從1742年到現在200多年來，這個問題吸引了無數的數學家為之努力，取得不少成果，雖然至今沒有最後證明哥德巴赫猜想，但在證明過程中所產生的數學方法，推動了數學的發展．

為了解決這個問題，就要檢驗每個自然數都成立．由於自然數有無限多個，所以一一驗證是辦不到的，因此，一位著名數學家說：哥德巴赫猜想的困難程度，可以和任何沒有解決的數學問題相匹敵．也有人把哥德巴赫猜想比作數學王冠上的明珠．

為了摘取這顆明珠，數學家們採用了各種方法，其一是用篩法轉化成殆素數問題（所謂殆素數就是素因數的個數不超過某一固定常數的奇整數），即證明每一個充分大的偶數都是素因數個數分別不超過a與b的兩個殆素數之和，記為（a+b）．哥德巴赫猜想本質上就是最終要證明（1+1）成立．

數學家們經過艱苦卓絕的工作，先後已證明了（9+9），（7+7），（6+6），（5+5），……（1+5），（1+4），（1+3），到1966年我國數學家陳景潤證明了（1+2），即證明了每一個充分大的偶數都是一個素數與一個素因數的個數不超過2的殆素數之和．離（1+1）只有一步之遙了，但這又是十分艱難的一步．

1966年至今已50年了，然而（1+1）仍是一個未解決的問題．

但是哥德巴赫的命題成立並不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。

現在通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想。