定義
正交變換 正交變換線上性代數中， 正交變換是線性變換的一種。對一個由空間投射到同一空間的線性轉換，如果轉換後的向量長度與轉換前的長度相同，則為正交變換。
正交變換
正交變換 正交變換其中在空間內，n表示維度。
正交變換
正交變換 正交變換 正交變換
正交變換
正交變換對於正交變換T以及兩個向量和，和之內積等於正交轉換後之向量和之內積。
正交變換 正交變換
正交變換其中N為向量長度，u[n]和v[n]分別為和之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。
正交變換
正交變換 正交變換 正交變換
正交變換
正交變換
正交變換在矩陣表示形式上，如果為正交變換，則為正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣，其每個列互為正交，令為之矩陣，取兩個不相同的列和遵守下列關係。
正交變換等價刻畫
設σ是n維歐式空間V的一個線性變換，於是下面4個命題等價
1.σ是正交變換；
2.σ保持向量長度不變，即對於任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；
3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是標準正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是標準正交基；
4.σ在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣。
正交矩陣
定義：n級實矩陣A稱為正交矩陣，如果A*A=E。(A*表示A的共軛轉置，E是單位矩陣)
分類
設A是n維歐式空間V的一個正交變換σ在一組標準正交基下的矩陣
若丨A丨=1，則稱σ為第一類正交變換，
若丨A丨=-1，則稱σ為第二類正交變換。
性質
正交變換 正交變換 正交變換 正交變換 正交變換（1）正交變換不會改變向量間的正交性，如果和正交，則和亦為正交。
正交變換
正交變換
正交變換（2）如果和皆為正交矩陣，則亦為正交矩陣。
正交變換 正交變換
正交變換（3）如果為正交矩陣，的反矩陣亦為正交矩陣。
（4）正交變換容易做反運算。
正交變換 正交變換 正交變換 正交變換 正交變換 正交變換 正交變換（5）對於正交變換，如果和可以做內積，和做內積之值等於和做內積之值。
套用
正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。
