概念
次理想(subideal)是介於子代數與理想之間的一個概念。設B是代數A的子代數，若存在子代數鏈：
次理想其中B是B的理想，則稱B是A的次理想，記為BsiA，鏈(*)稱為次理想鏈。次理想是與維蘭特(Wielandt，H.)於1937年對群引入的次正規子群相平行的概念。
理想
理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I；
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I；
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I；
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：
1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元)；
2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；
3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；
則稱I為B上的理想。理想與濾子有非常密切的聯繫。
代數
數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA)；群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES)；四元數(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
集合論
簡稱“集論”。數理邏輯分支之一。以集合為對象，用公理化或樸素直觀的方法，研究集合的性質及集合間的關係(主要是從屬、包含與相等關係)的一門學科。其中用公理化進行研究的稱為公理集合論，用樸素直觀方法進行研究的稱為樸素集合論。集合論是19世紀的數學家試圖為微積分奠定堅實基礎努力下的產物。波爾察諾在《關於無窮的悖論》(1851)，戴德金(Richard Dedekind，1831—1916)在《什麼是數》(1888)中都對集合的思想有比較深刻的反映，為集論的誕生作出一定的貢獻。但當時他們所考慮的對象均局限於數或函式。集合論創始人是康托爾。他在探討三角級數展開式唯一性問題的過程中，引起了對集合導集結構的研究。不久，康托爾發現這項新的研究工作具有獨立於三角級數或函式論本身的重要性，並為此在1871至1897年發表一系列論文，加以論述。康托爾對集合論的貢獻，有以下幾個方面：(1)把集合的元素推廣到任意的對象;(2)闡明“無限”的本質，構造出無限多層次的“無限”;使每一個都成為一個實體，成為數學、數理邏輯、哲學的研究對象;(3)制訂了第一批關於集合論、點集拓撲、次序的重要概念;(4)創造了對角線的證明方法;(5)為“數”的概念提供一個合理核心。然而這一新理論的基礎並不鞏固，其根本原因是對“什麼是集”應如何正確地刻畫，缺乏合乎邏輯的理解。康托爾認為，“所謂‘集合’，我們認為就是在人們的直覺或思維中，把任意確定的，不同的對象m，加以綜合概括所組成的總體M。”這一“定義”，包含了兩方面的缺陷：其一是所謂“總體”事實上只是集合這一概念通俗化的說法，不能作為數學上的定義;其二是“定義”中隱含了對概括者意識的依賴，包含了主觀的因素，不符合形式理論純客觀的要求。因此未被後來的數學家所沿用。幾乎同時，弗雷格在《算術的基本規律》第1卷(1893)中提出了一個概括原則作為規定集合的依據：“每一個性質p決定一個集合{x：p(x)}，即所有滿足性質p的事物構成一個集。”抽象地看，我們不妨認為“集合者，性質也”。這一概括原則雖在當時得到普遍的認可，但不久也即受到詰難。羅素在1902年針對此原則，提出：如果令p(x)為x⋶x，則根據概括原則得到一個確定的集A={x：x⋶x}。倘若對A考察p(A)成立與否，那么由A∈A可以推出A⋶A，反之由A⋶A可以推出A∈A，這顯然是一個矛盾。1900年前後在樸素集合論中產生的一些悖論及由此引起的對集合論、數學基礎、邏輯推理的批評與詰難，迫使致力於這方面工作的數學家和邏輯學家努力去尋找悖論產生的原因和消除它們的方法，從而引起公理集合論的誕生和發展。迄今，集合論已經成為數理邏輯中不可缺少的組成部分，也是整個數學的基礎。許多涉及數學本質的哲學問題都被歸結為關於集的問題，數學中的若干基本概念需要通過某種集來加以定義，各種不同的純粹數學分支也可以說是對賦有某種結構的集的研究。在集上附加一些不同的條件就產生序、代數、拓撲三大母結構。在各種母結構上再補充一些不同的條件就可得到許許多多子結構與交叉結構。
