概念
模群即虧格大於2的閉曲面上映射類群。考慮拓撲曲面S上所有保向自同胚集合，在其上定義一等價關係使得兩元素h與h'等價，若且唯若h與h'同倫，如此所得到的等價類集合在複合運算[h]°[h']=[h°h']下構成一群，稱為模群，或映射類群。模群以如下方式自然地作用於泰希米勒空間：[h']([s，f])=[s，f°h]。易證此種作用是間斷的。模群與泰希米勒空間理論、拓撲學及三維流形理論等有密切的聯繫，至今仍是人們所重點研究的課題之一。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
虧格
虧格是黎曼曲面的重要拓撲不變數。一閉曲面(或開曲面)的一維同調群(或模理想邊界的一維同調群)之秩是2g，則稱g為此曲面的虧格。開曲面的虧格可能為無窮。
拓撲空間的同胚映射下保持不變的性質稱為拓撲不變數。
例如，二維緊緻定向曲面又二維定向曲面的拓撲不變數虧格、辯解連通分支數唯一決定。拓撲學研究的一個中心問題是拓撲空間的同胚分類。但是直接判斷兩個拓撲空間之間是否存在同胚映射是很困難的一件事情。因此拓撲學家希望能夠找到比較好計算的在同胚映射下保持不變的性質來判斷兩個拓撲空間不是同胚的。因此，拓撲空間的同胚映射存在問題被轉移到拓撲不變數的構造。由此，產生了許多的拓撲不變數如同倫群、同調群。
黎曼曲面是一維復解析流形。由局部定義的解析函式經解析開拓得到的大範圍定義的解析函式常常是多值的，它的單值定義域即是相聯於此函式的黎曼曲面。它能由有限或可數無窮多的“葉”所組成，這些葉都是複平面C上的域。抽象黎曼曲面定義為：一個曲面M連同一個附加的復結構{(u，h)}，並記黎曼曲面R=(M，{(u，h)}).這是外爾(Weyl，(C.H.)H.)首先提出的。這裡復結構{(u，h)}是指開集族{u}是M的一開覆蓋，即M=∪u，h是u到複平面開集V的同胚映射，亦稱局部參數或局部坐標，並且相鄰兩個局部參數的定義域的交集上，其中一個參數是另一個參數的解析函式。黎曼曲面上定義的函式稱為解析的(或調和的或次調和的)，如果在每個參數鄰域內它表示為局部參數的解析函式(或調和或次調和函式)。緊緻黎曼曲面稱為閉黎曼曲面，否則為開黎曼曲面。
黎曼曲面理論中具有基本的重要性的定理是單值化定理。
同胚
同胚是拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X，T)到(Y，U)的單滿映射，並且f與f都是連續的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關係是等價關係。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1910年開始研究的.在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。
設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。
為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續的。
從一緊空間到另一緊空間上的任一連續雙射是同胚。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)，H(x，1)=gx∈X，則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
泰希米勒空間
閉黎曼曲面上附帶一定拓撲條件的復解析結構所構成的空間。假設S(g≥0)是一個虧格為g的閉曲面，在複分析及其套用中一個十分重要的基本問題是怎樣對S上的復結構進行描述。g=0，1的情形早為人們所認識，即S上有惟一的復結構，S上的所有復結構可以用一個復參數來描述。當g>1時此問題十分複雜。100多年前，黎曼猜測S(g>1)上的所有復結構可用6g-6個實參數來描述。此著名猜測的證明由德國數學家泰希米勒(Teichmu¨ller，O.)於20世紀40年代首先給出，其證明的關鍵性思想是對一類以S為基點的形變空間的拓撲性質及其“自然”作用於其上的模群的分析，這類重要的形變空間即是現在所稱的泰希米勒空間。其定義如下：考慮所有形如[S，f]的元組，其中f：S→S為同胚映射，規定一等價關係：[S，f]~[S，f]，若且唯若存在一共形映射σ：S→S滿足σ°f～f(同倫)，利用擬共形映射的復偏差可在此等價類集合上裝備一個完備的度量，並稱為泰希米勒度量。如此所得到的拓撲空間T稱為泰希米勒空間.粗略地說，泰希米勒的重大貢獻在於巧妙地套用擬共形映射及S上的全純二次微分給出了一個“直觀地”得到S上所有復結構的形變方法.與此相關的重要結果有：
1.給定T中的任一點[S，f]，存在S上的泰希米勒形變T及共形映射h，使得[S，f]=[S，h°T]，且h°T是f的同倫類中伸縮商為最小的惟一的極值映射。
2.記R是虧格為g的閉曲面的共形等價類的集合，Mod g是作用於T上的模群，則Mod g在T上的作用是離散的，且R=T/Mod g。
3.T同胚於6g-6維歐氏空間R中的開球。
阿爾福斯(Ahlfors，L.V.)首先認識到泰希米勒空間的重要價值，並證明T上存在與泰希米勒拓撲相容的復結構。稍後伯斯(Bers，L.)證明T可被全純地嵌入到C中有界球的內部.在隨後的研究中，S的拓撲類型推廣到允許S上有洞或穿孔點，甚至可以直接從離散群出發來定義廣泛的泰希米勒空間。至今泰希米勒空間理論已發展成為現代數學中非常重要的研究課題，它與現代數學及物理中的許多分支，如埃爾米特幾何、黎曼幾何、代數幾何、離散群理論、三維流形理論、動力系統、遍歷理論、BMO理論以及超弦理論等均有直接或間接的聯繫。許多精粹思想交融其中，互映生輝。特別要指出的是由瑟斯頓(Thurston，W.)所創立的“地震”理論.這是與泰希米勒形變理論相媲美的另一個“直觀地”得到S上所有復結構的形變方法。此外由於計算機技術的發展及套用上的需要，開發對T中的目標的計算方法已開始受到人們的重視。
