極小值原理

釋義

控制向量u(t)受限制的情況下，使哈密頓函式取極小，求解最優控制問題的原理和方法，又稱極大值原理。

問題提出

在用古典變分法求解最優控制問題時，假定控制向量u(t)不受任何限制，即容許控制集合可以看成整個p維控制空間，這時控制變分δu可以任取。同時還嚴格要求哈密頓函式H對u連續可微。在這種情況下，套用變分法求解最優控制問題是有效的。但是，實際工程問題中，控制變數往往受到一定限制，容許控制集合是一個p維有界閉集。這時，控制變分δu在容許集合邊界上就不能任意選取，最優控制的必要條件∂H/∂u=0就得不到滿足。若最優控制解落在控制集的邊界上(例如最短時間控制問題)，一般便不滿足∂H/∂u=0，就不能再用古典變分法來求解最優控制問題。

極小值原理是在20世紀50年代由蘇聯學者龐特里雅金(Л.С.Понтрягин)提出的，它的結果與古典變分法極為近似。但它克服了古典變分法的局限性，適用範圍擴大了。原先提出時，稱為“極大值原理”，兩者是一致的，因為一個函式的極小與其反號函式的極大是相同的。