局部定理
設E為一個完備的有限維賦范向量空間（即一個巴拿赫空間），f為一個取值在E上的函式：
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理其中U為E中的一個開集，I是 中的一個區間。考慮以下的一階非線性微分方程：
柯西-利普希茨定理如果f關於t連續，並在U中滿足利普希茨條件，也就是說，
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理那么對於任一給定的初始條件： ，其中 、 ，微分方程（1）存在一個解 (J,x(t))，其中 是一個包含 的區間，x(t) 是一個從 J 射到 U 的函式，滿足初始條件和微分方程。
柯西-利普希茨定理局部唯一性：在包含點的足夠小的J區間上，微分方程（1）的解是唯一的（或者說，方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的）。
柯西-利普希茨定理這個定理有點像物理學中的決定論思想：當我們知道了一個系統的特性（微分方程）和在某一時刻系統的情況（ ）時，下一刻的情況是唯一確定的。
驗證推導
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函式遞歸序列 ，使得 ，這樣，如果這個序列有一個收斂點 y ，那么y為函式 的不動點，這時就有 ，於是我們構造出了一個解y。為此，我們從常數函式
柯西-利普希茨定理開始。 令
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理 柯西-利普希茨定理這樣構造出來的函式列中的每個函式都滿足初始條件。並且由於 f 在 U 中滿足利普希茨條件，當區間足夠小的時候， 成為一個收縮映射。根據完備空間的不動點存在定理，存在關於\Phi的穩定不動點，於是可知微分方程的解存在。
由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個，因此在足夠小的區間內解是唯一的。
最大解定理
柯西-利普希茨定理 柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理局部的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上，對於微分方程（1）的任意解(J,x(t))、，定義一個序關係：(J,x(t))小於若且唯若 ，並且在J上的值與x(t)一樣。在這個定義之下，柯西-利普希茨定理斷言，微分方程的最大解是唯一存在的。
證明思路
解的唯一性：假設有兩個不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同，將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上，則會得到一個更“大”的解（只需驗證它滿足微分方程），矛盾。因此解唯一。
解的存在性：證明需要用到佐恩引理，構造所有解的並集。
定理推廣
擴展至高階常微分方程
對於一元的高階常微分方程
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理 柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理
柯西-利普希茨定理只需構造向量和相應的映射，就可以使得（2）變為。這時的初始條件為，即
柯西-利普希茨定理擴展至偏微分方程
對於偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的擴展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
