歷史
這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表，但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。
定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理設 為 的一個開子集，以及一個連續函式：
皮亞諾存在性定理 皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理皮亞諾存在定理：定義在 上的一個一階線性常微分方程（其中 ）
皮亞諾存在性定理 皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理必然有局部解。也就是說，必定存在一個關於 的鄰域 ，以及一個函式：
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理滿足 。
相關定理
皮亞諾存在性定理 皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理 皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理，皮卡-林德洛夫定理對函式 的要求更嚴格，但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函式 局部地滿足利普希茨條件，也就是說在任意一點 的附近，都有一個常數 和一個鄰域 ，使得對於 中任意的 兩點，都有：
皮亞諾存在性定理。
這個要求比單純的連續性要高，但是得出的結論也更強了：皮卡-林德洛夫定理說明，在滿足上述要求時，微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。
例子
皮亞諾存在性定理設 為一個常數，考慮函式
皮亞諾存在性定理。
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理 皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理
皮亞諾存在性定理根據皮亞諾存在定理，由於函式 在 上連續，微分方程有解。但由於 ， 在 上不滿足利普希茨條件，於是解不一定是唯一的。事實上： ，函式都是微分方程的解，也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型：假設有一個漏水的容器，其水面高度（函式）和時間（變數）的關係由以上的微分方程定義的話，那么由於事實上可以觀測到漏水的過程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態（）的話，是無法倒過來推測原來的水位有多高的（也就是說沒有唯一解）。
