定理定義
如果 α1,...,α n 是代數數，在有理數 ℚ 內是線性獨立的，那么在 ℚ 內是代數獨立的；也就是說，擴張域在 ℚ 內具有超越次數 n。
一個等價的表述是：如果 α1,...,α n 是不同的代數數，那么指數 在代數數範圍內是線性獨立的。
定理推廣
]ei]和π的超越性
e和π的超越性是這個定理的直接推論。
假設α是一個非零的代數數，那么{α}在有理數範圍內是線性獨立的集合，因此根據定理的第一種表述，{ e}是一個代數獨立的集合，也就是說， e是超越數。特別地， e = e是超越數。
另外，利用定理的第二種表述，我們可以證明，如果α是一個非零的代數數，那么{0, α}就是不同的代數數的集合，因此集合在代數數範圍內是線性獨立的，特別地， e不能是代數數，因此一定是超越數。
現在，我們來證明π是超越數。如果π是代數數，2π i也是代數數（因為2 i是代數數），那么根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理， e[sup] i[/sup] = 1（參見歐拉公式）也是超越數，這與1是代數數的事實矛盾。
把這個證明稍微改變以下，可以證明如果α是一個非零的代數數，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它們的雙曲函式也是超越數。
]pi]進數猜想
p進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想，就是這個定理在p進數中也成立：假設 p是素數，α1,...,α n是 p進數，它們都是代數數，且在 Q內線性獨立，使得對於所有的 i，都有。那么p進指數在 Q內是代數獨立的。
