基本介紹
有界變差數列是一類重要的數列，指其差分絕對值之和有界的數列。對這樣的數列{x}，存在常數C，滿足：
|x-x|+|x-x|+…+|x-x|<C，
其中n=1，2，…有界變差數列必是收斂數列，但反之不一定成立 。
有界變差數列必收斂
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列證明：有界變差數列必是收斂數列，但反之不一定成立。分析令，利用單調有界原理證明數列{y}收斂，然後再利用柯西收斂準則證明數列{x}收斂 。證明 令。那么{y}單調遞增且有上界，所以{y}收斂。由柯西收斂準則，對，存在正整數N，當m>n>N時有，即
有界變差數列於是對數列{x}，當m>n>N時有
有界變差數列所以數列{x}收斂。
有界變差數列反之不一定成立，例如數列，它是以0為極限的收斂數列，但它不是有有界變差的，事實上，
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列 有界變差數列而數列是發散的，又是遞增的，所以，於是不是有界的 。
有界變差數列【例1】
有界變差數列 有界變差數列但
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列
有界變差數列 有界變差數列對任意c>0，只要n>e 就有>c，
數列{x}收斂，但它沒有有界變差。
