特點
最小上界公理
最小上界公理
最小上界公理
最小上界公理這個公理可以用來證明實數集是完備度量空間。有理數集不滿足最小上界公理，因而就不是完備的。一個理想的例子是 。2 當然是這個集合的上界。但是這個集合沒有最小上界 — 對於任何上界 ，我們可以找到上界 有著 。
證明實數集的完備性
最小上界公理 最小上界公理
最小上界公理
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最小上界公理
最小上界公理設 是柯西序列。設 S 為這樣一個集合，其中每個實數隻大於序列 中的有限個成員。設 ，以及設 使得 。於是這個序列在這個區間 里出現無限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。這意味著 ， 因此 。另外 是 S 的上界。於是通過 LUB 公理，可以設 b 是S的最小上界，而且 。由三角不等式，當n>N時成立著 。所以 並因此 是完備的。Q.E.D.
等價命題
最小上界公理也可以由其它等價命題所取代，此時最小上界公理改稱為最小上界原理。這些等價命題包括：
•最大下界原理：即下確界原理。與最小上界原理合稱確界原理。
•柯西收斂準則：即上文所證明的實數集完備性。
•收縮區間套原理：任何收縮的區間套恰好能套住一個點。
•單調有界原理：單調有界序列必有極限。
•聚點原理：任何有界序列必有收斂子列。又稱魏爾斯特拉斯聚點原理。
