映射空間

映射空間

映射空間亦稱函式空間,拓撲學的一個基本概念。它是一類重要的拓撲空間,設X,Y是集合,F為X到Y的映射組成的族,在F上引入拓撲使之成為拓撲空間,則稱F為映射空間。在映射空間理論中常見的拓撲有點態收斂拓撲、緊開拓撲、一致收斂拓撲、緊收斂拓撲等。

點式收斂拓撲

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設X為一個集合, 為一個拓撲空間.從 X到Y的所有映射構成的集合記作

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={ 為映射}.

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實際上,它就是以X為指標集的笛卡兒積 對 ,令 為 的第x個投射,則對 恰為映射f在點x處的像,因此,我們將投射 改稱為 在點x∈X處的 賦值映射

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另一方面, 的積拓撲 便是以 ={ 為 中的開集,x∈X }為子基的拓撲,並稱 為 的 點式收斂拓撲,而 稱為從集合X到拓撲空間 的 映射空間( 點式收斂拓撲)。

由於映射空間(點式收斂拓撲)是一類特殊的拓撲積空間,因此,關於拓撲積空間的一般理論全部適用於它,無須另行證明。

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定理1 設X為一個集合, 為一個拓撲空間,則映射空間 (點式收斂拓撲)為 空間 Y為平庸拓撲空間,或者X為至多可數集並且Y為 空間。

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定理2 設X為任一集合,Y為一個拓撲空間,則映射空間 (點式收斂拓撲)為 ( 正則,完全正則,連通,路連通,緊緻)空間 Y為 ( ,正則,完全正則,連通,道路連通,緊緻)空間。

對於 連續映射,我們引進

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定義2 設 與 為兩個拓撲空間, 為從 到 的所有連續映射構成的集合,則 ,C(X,Y) 作為映射空間 (點式收斂拓撲)的子拓撲空間稱為從拓撲空間 到拓撲空間 的 連續映射空間(點式收斂拓撲),並且C(X,Y) 的拓撲也稱為 點式收斂拓撲

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C(X,Y) 作為 的子拓撲空間,自然可以繼承 的許多拓撲性質.例如,當Y為 ( ,正則、完全正則、連通、道路連通、緊緻)時,由可積性知,映射空間 (點式收斂拓撲)為 ( ,正則,完全正則、連通、道路連通、緊緻)空間,再根據遺傳性,連續映射空間C(X,Y) (點式收斂拓撲)也為 ( ,正則,完全正則、連通、道路連通、緊緻)空間。

一致收斂度量

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定義3 設X為一個集合,﹙Y,ρ﹚ 為一個度量空間,記 為從X到Y的所有映射構成的集合,定義

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容易驗證 為 的一個度量,稱它為 的 一致收斂度量,度量空間 稱為 映射空間( 一致收斂度量),由一致收斂度量 誘導出來的拓撲 稱為 的 一致收斂拓撲.拓撲空間 稱為 映射空間( 一致收斂拓撲)。

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當 為一個拓撲空間時,從 到 的所有連續映射構成的集合 作為度量空間 的子度量空間,稱為 連續映射 空間(一致收斂度量),此時它的度量也稱為 一致收斂度量;它作為拓撲空間 的子拓撲空間稱為 連續映射空間( 一致收斂拓撲),此時它的拓撲也稱為 一致收斂拓撲

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定理3設X為集合,﹙Y,ρ﹚ 為一個度量空間.在度量空間 (一致收斂度量)中的一個序列 收斂於 序列 一致收斂於 ,即 ,當 時,

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定理4 設X為一個集合,﹙Y,ρ﹚ 為一個完備度量空間,映射空間(一致收斂度量) 也為一個完備度量空間。

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定理5 設 為一個拓撲空間, ﹙Y,ρ﹚為一個度量空間,則從 到 的所有連續映射構成的集合 為映射空間(一致收斂拓撲)中的一個閉集,因此,度量空間C(X,Y) (一致收斂度量)也是一個完備度量空間。

緊緻-開拓撲

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定義4 設X與Y為兩個拓撲空間,W為X的全體緊緻子集構成的集族,則從X到Y的全體映射構成的集合 的W一開拓撲 稱為 的 緊緻一開拓撲,拓撲空間( , )稱為 映射空間(緊緻一開拓撲)。

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從X到Y的全體連續映射構成的集合C(X,Y) 作為映射空間 (緊緻一開拓撲)的子拓撲空間稱為 連續映射空間(緊緻一開拓撲);並且 的緊緻一開拓撲 在C(X,Y)上的限制 也稱為C(X,Y) 的 緊緻一開拓撲

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定理6 設X與Y為兩個拓撲空間, 與 分別為從X到Y的全體映射構成的集合 的點式收斂拓撲與緊緻一開拓撲,則。

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定理7 設X與Y為兩個拓撲空間,如果Y為 空間,則映射空間 (緊緻一開拓撲)以及連續映射空間C(X,Y) (緊緻一開拓撲)也為 空間。

定理8 設X為緊緻空間,﹙Y,ρ﹚ 為一個度量空間,則連續映射空間C(X,Y) 的一致收斂拓撲與緊緻一開拓撲相同。

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