群的定義
設G是一個非空集合，*是它的一個代數運算，如果滿足以下條件：
Ⅰ.結合律成立，即對G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；
Ⅱ.G中有元素e，它對G中每個元素a都有 e*a=a，叫做G的左單位元；G中有元素e，它對G中每個元素a都有 a*e=a，叫做G的右單位元；如果e既是左單位元又是右單位元，則e叫做G的單位元。
Ⅲ.對G中每個元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*a=e；
則稱G對代數運算*做成一個群。
一般說來，群指的是對於某一種運算*，滿足以下四個條件的集合G：
（1）
封閉性
若a,b∈G,則存在唯一確定的c∈G,使得a*b=c;
（2）
結合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）
單位元存在
存在e∈G,對任意a∈G，滿足a*e=e*a=a，稱e為單位元，也稱麼元;
（4）
逆元存在
任意a∈G,存在唯一確定的b∈G, a*b=b*a=e（單位元），則稱a與b互為逆元素，簡稱逆元，記作a^(-1)=b.
通常稱G上的二元運算*為“乘法”，稱a*b為a與b的積，並簡寫為ab.
若群G中元素個數是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。
子群的定義
如果G對於運算*為一個群，H包含於G並且H對*構成一個群，那么稱H為G的子群。
這條定理可以判定G的子集是否為一個子群：
HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群
群論-由來
群論是法國傳奇式人物Galois的發明。他用該理論解決了五次方程問題。今天，群論經常套用於物理領域。粗略地說，我們經常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維鏇轉群，三維鏇轉群以及和反應四維時空相對應的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構成了Poincare群。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
