內容簡介
《數學的思維方式與創新》是作者在北京大學多次給本科生講授“數學的思維方式與創新”素質教育通選課的教材。什麼是數學的思維方式?如何培養學生的數學思維能力?數學的思維方式包括哪幾個環節?作者用通俗易懂的語言論述了數學思維方式的五個重要環節:觀察－抽象－探索－猜測－論證。講述了數學上的創新是如何推動數學的發展,而數學的思維方式在創新中是怎樣起著重要作用的,使學生領略數學創新的風采,受到數學思維方式與創新的薰陶和訓練,提高數學素質。
《數學的思維方式與創新》以現代數學和資訊時代有重要套用的數學知識和數學發展史上若干重要創新為載體,從同學們熟悉的整數、多項式出發,講述整數環、一元多項式環的結構;從“星期”這一司空見慣的現象引出集合的劃分、等價關係和模組剩餘類的概念,進而研究模m剩餘類環的結構;從資訊時代為了確保信息安全引出序列密碼和公開密鑰密碼,以及數字簽名;從數學發展史上選出三個重大創新進行闡述,它們是:從對運動的研究到微積分的創立和嚴密化,從平行公設到非歐幾里得幾何的誕生與實現;從方程的根式可解問題到伽羅瓦理論的創立和代數學的變革。全書共分四章,第一、二、三章每節配置了習題,書末給出了習題解答,供教師和學生參考。
《數學的思維方式與創新》的特點是運用數學的思維方式講授數學知識,通過觀察客觀現象引出數學概念,提出要研究的問題,著重啟發學生進行探索、猜測可能有的規律,然後進行嚴密論證,在論證中強調創新思想。對數學發展史上三個重大創新,不僅介紹了創新的歷史進程,而且著重講述這些創新的內容及給我們的啟迪。
編輯推薦
《數學的思維方式與創新》可作為高等院校本科生素質教育通選課的教材或教學參考書,也可作為數學工作者、中學數學教師、高中生和大學生課外閱讀書。
作者簡介
丘維聲，1966年畢業於北京大學數學力學系。現為北京大學數學科學學院教授、博士生導師,全國高等學校首屆國家級教學名師,美國數學會Mathematical Reviews評論員,中國數學會組合數學與圖論專業委員會首屆常務理事,《數學通報》副主編,曾任“國家教委高等學校數學與力學教學指導委員會”(第一、二屆)委員。
出版著作38部,發表教學研究論文22篇,譯著(合譯)6部。他編寫的具有代表性的優秀教材有:《高等代數(上、下冊)——大學高等代數課程創新教材》(清華大學出版社,2010),《高等代數(第二版)(上、下冊)》(高等教育出版社,2003),《簡明線性代數》(北京大學出版社,2002),《解析幾何(第二版)》(北京大學出版社,1996),《抽象代數基礎》(高等教育出版社,2003),《有限群和緊群的表示論》(北京大學出版社,1997)等。
作者的研究方向:代數組合論、群表示論、密碼學,發表科學研究論文46篇。承擔國家自然科學基金重點項目2項,主持國家自然科學基金面上項目3項。
圖書目錄
引言
第一章 從星期到模m剩餘類環
§1.1 集合的劃分與等價關係
§1.2 模m剩餘類環Zm，環和域的概念
§1.3 整數環的結構
§1.4 Zm的可逆元的判定，模p剩餘類域，域的特徵，費馬小定理
§1.5 中國剩餘定理
§1.6 Zm的可逆元的個數，歐拉函式
§1.7 Zm的單位群Z*m，歐拉定理，循環群及其判定
1.7.1 Z*m的結構，群
1.7.2 歐拉定理
1.7.3 群的元素的階
1.7.4 循環群及其判定
§1.8 篩法，威爾遜定理，素數的分布
1.8.1 篩法,威爾遜定理
1.8.2 素數的分布
1.8.3 素數的計數
第二章 從解方程到一元多項式環
§2.1 一元多項式環的概念
§2.2 帶餘除法，整除關係
§2.3 最大公因式
2.3.1 最大公因式
2.3.2 互素的多項式
§2.4 不可約多項式，唯一因式分解定理
§2.5 多項式的根，多項式函式，複數域上的不可約多項式
2.5.1 多項式的根
2.5.2 多項式函式
2.5.3 複數域上的不可約多項式
§2.6 實數域上的不可約多項式
§2.7 有理數域上的不可約多項式
第三章 從通信安全到密碼學
§3.1 序列密碼
§3.2 線性反饋移位暫存器，m序列
§3.3 公開密鑰密碼體制，RSA密碼系統
§3.4 數字簽名
第四章 數學發展史上若干重大創新
§4.1 從對運動的研究到微積分的創立和嚴密化
4.1.1 17世紀對天體運動的研究
4.1.2 牛頓和萊布尼茨創立微積分
4.1.3 微積分的嚴密化
4.1.4 實數系的連續性與完備性
§4.2 從平行公設到非歐幾里得幾何的誕生與實現
4.2.1 歐幾里得幾何
4.2.2 對平行公設的質疑
4.2.3 非歐幾里得幾何的誕生
4.2.4 非歐幾何在現實物質世界中的實現
4.2.5 非歐幾何的誕生與實現給我們的啟迪
§4.3 從方程根式可解問題到伽羅瓦理論的創立與代數學的變革
4.3.1 三次、四次方程的解法
4.3.2 拉格朗日等人對於五次及更高次一般方程不能用根式解的研究
4.3.3 伽羅瓦研究可用根式求解的方程的特性的思想
4.3.4 伽羅瓦理論的基本定理
4.3.5 方程根式可解的判別準則
4.3.6 高於四次的一般方程不是根式可解的證明
4.3.7 伽羅瓦理論的創立給我們的啟迪
附錄1 研究群的結構的途徑
§1.1 子群，正規子群，商群
§1.2 群的同態，可解群
附錄2 域擴張的途徑及其性質
§2.1 理想，商環，環同態，極大理想，域擴張的途徑
§2.2 域擴張的性質，分裂域，伽羅瓦擴張
習題解答
參考文獻
