簡介
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
概述
戴德金分割，是將一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個元素小於集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，並將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割。（有些分割是有理數產生的，在這樣的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素，但有些分割卻不是）。
案例
戴德金分割例1 一切滿足不等式a 1的有理數a，歸入下組集合A中，一切滿足a' 1的a'，歸入上組集合A'中。
則得出一個分劃。在這種分劃中，數1屬於A'，且顯然成為其中最小的數。而在A組內並無最大數。
戴德金分割
戴德金分割例2 一切滿足不等式a 1的有理數歸入下組集合A中，一切滿足a' 1的有理數a'，歸入上組A'中。
則同樣得出一個分劃。在這種分劃中，上組無最小數，而在下組中有最大數1。
戴德金分割 戴德金分割例3 取使得a^2 2的一切正有理數a，數0及一切負有理數歸入下組集合A中，使a'^2 2的一切正有理數a'歸入上組集合A'中。
以上得出了有理數的僅有的三種類型的分劃，即：
（1）在下組A內無最大數，而在上組A'內有最小數r；
（2）在下組A內有最大數r，而在上組A'內無最小數；
（3）在下組A內既無最大數，在上組A'內也無最小數。
在前兩種情形，稱分劃由有理數r產生，（r稱為A與A'之間的界數），又或說分劃定義有理數r，在例1，2中，1便是這樣的數。
而在第三種情形中，界數並不存在，分劃並不定義任何有理數。於是引入相對於有理數的新的對象——無理數，並約定任一由第（3）類型的分劃定義某一無理數α。這個數α便代替缺少的界數。把界數α插入在A組的一切數a與A'組的一切數a'中間。在例3中，這個相對於有理數的新創的數即是根號2。對於這種劃分，每當考慮一個不是由有理數產生的分割時，就得到一個新數，即無理數，並認為這個數是由這種分割完全確定的。
戴德金把這種劃分定義為有理數的一個分割，記為A|A'。因為不存在有理數a使得a的平方等於2（見附註1），戴德金說，考慮一個不是由有理數產生的分割A|A'時，就得到一個新數，即無理數α，這個數是由分割A|A'完全確定的。因此，戴德金就把一切實數組成的集合R定義為有理數集的一切分割，而一個實數α就是一個分割A|A'。在這一定義中，由一個給定的有理數r產生的兩個實質上等價的分割（視數r是A最大元素還是A'的最小元素而定）被看成是同一的。為了確定起見，可以約定：凡是說到確定有理數r的分劃時，常把這數放在上組內。
這樣，所有可能的分割構成了數軸上的每一個點，既有有理數，又有無理數，統稱實數。
在解析函式中，對實數的定義大意是，先從自然數出發定義正有理數，然後通過無窮多個有理數的集合來定義實數。
有理數及無理數總稱為實數。實數的概念，是數學分析的基本概念之一。
附註1：
在有理數域不存在有理數p/q（p/q為既約分數），使其平方等於2。
證明（反證法）：
假設存在這樣的既約分數p/q，使其平方等於2，即有p^2=2q^2，所以p為偶數，記p=2r（其中r為整數），於是q為奇數。
將p=2r代入p^2=2q^2得q^2=2r^2，故q為偶數，但這與假設相矛盾，所以不存在有理數p/q，使其平方等於2。
成就及影響
戴德金分割戴德金的主要成就是在代數理論方面。他研究過任意域、環、群、結構及模等問題，並在授課時率先引入了環（域）的概念，並給理想子環下了一般定義，提出了能和自己的真子集建立一對應的集合是無窮集的思想。在研究理想子環理論過程中，他將序集（置換群）的概念用抽象群的概念來取代，並且用一種比較普通的公式（戴德金分割概念）表示出來，比康托爾的公式要簡化得多，並直接影響了後來皮亞諾的自然數公理的誕生。是最早對實數理論提出了許多論據的數學家之一。
戴德金在數學上有很多新發現。不少概念和定理以他的名字命名。他的主要貢獻有以下兩個方面：在實數和連續性理論方面，他提出“戴德金分割”，給出了無理數及連續性的純算術的定義。
