基本相信
作 者：任德麟著
叢 書 名：21世紀現代數學指南叢書
ISBN：9787030286161
出版時間：2010-08-01
版 次：1
頁 數：120
裝 幀：平裝
開 本：16開
所屬分類：圖書 > 科學與自然 > 數學
內容簡介
《微積分原理與嚴格的理論基礎》由兩部分組成，重點討論兩個課題，即微積分的基本原理和微積分的嚴格的理論基礎。第一部分以函式的非均勻性兩種分類為視角，從研究對象、處理問題的方法、運算之間的聯繫和定義的數學結構等不同側面，對導數與積分的內涵和二者之間的互逆關係作了全面分析，並由此提煉出微積分的基本原理。第二部分對微積分的嚴格的理論基礎的三個組成部分（集論、ε－ζ語言和實數理論）作了系統的討論，對ε－ζ語言的實質、確定實數系的公理化方法作了深入的評析。《微積分原理與嚴格的理論基礎》可供學習微積分和數學分析課程的學生和授課老師參考。
目錄
第一部分 微積分原理
1 引言
2 函式、極限和連續性
2.1 函式
2.2 極限
2.3 連續性
3 微分學最基本的概念——導數
3.1 引出導數概念的問題
3.2 導數概念
3.3 關於導數的計算
4 微分學基本定理及其套用
4.1 拉格朗日中值定理
4.2 利用導數研究函式
5 導數套用舉例
6 積分學最基本的概念——定積分
6.1 引出定積分概念的問題
6.2 定積分定義
6.3 定積分的幾何意義
6.4 關於面積公理
7 關於定積分定義的補充說明
7.1 定積分定義的各種表述
7.2 評註與建議
8 微積分基本定理
8.1 牛頓-萊布尼茨公式
8.2 廣義斯托克斯公式
9 定積分套用舉例
9.1 幾何套用
9.2 物理套用
9.3 定積分在經濟學中的套用
9.4 浦豐小針問題
10 微積分的基本原理
10.1 導數與積分的互逆關係
10.2 微積分的基本原理
第二部分 微積分的嚴格的理論基礎
11 引言
12 集論基礎
12.1 基本概念
12.2 集代數
12.3 點集拓撲
13 無窮集
13.1 連續統假設
13.2 悖論
13.3 公理集論簡介
14 集論對於構建數學的邏輯基礎的作用
14.1 集是各種不同數學結構的基本框架
14.2 集論語言有助於精確刻畫數學概念
14.3 佐恩引理
15 關於鄰域對應思想（ε-δ語言）
15.1 牛頓和萊布尼茨
15.2 對微積分基礎的質疑
15.3 極限的ε-δ定義
15.4 ε-δ語言的實質
15.5 鄰域對應思想
16 建立實數系的幾種方案
16.1 從有理數系擴張到實數系的方案
16.2 確定實數系的公理化方法
16.3 幾種方案的比較
17 阿基米德性質實數的十進小數逼近
17.1 阿基米德性質
17.2 實數的有限十進小數逼近
17.3 實數的幾何表示
18 實數理論是微積分的邏輯基礎
18.1 怎樣證明根號2是無理數
18.2 關於函式的定義
18.3 關於連續函式的幾個重要定理
18.4 實數系的完備性
18.5 關於緊性
前言
大家都知道，微積分是牛頓和萊布尼茨發明的，時間大約在17世紀六七十年代，微積分何時傳人中國的呢？這裡我們介紹一份可供參考的資料：《商務印書館算學書目》（光緒三十四年，即1908年），在這份書目中列入了當年出版的數學書44種，其中，算術筆算之部，14種；算術珠算之部，7種；代數之部，9種；幾何之部，9種；三角之部及微積，5種，在“三角之部及微積”之中，包括三角教科書4種，以及一本微積分的教科書，書名全稱為《最新高等學堂教科書，微積學》，定價一元六角，在這44種圖書中，屬於國小和中學的數學教材計43種，這表明一百年以前，我國已有相當完備的中國小數學教育，另一方面，“微積學”僅僅一種，且附屬於“三角之部”，由此可見微積分這門學問這時剛剛被介紹到中國，遠未普及，另外，楊振寧先生在一次演講中提到：“一百年前中國懂微積分的人只有幾個，現在學數學的大學生都懂，”（2009年4月19日在揚州大學的演講）楊振寧之父楊武之先生1928年獲美國芝加哥大學數學博士學位，同年回國任教於清華大學，對於現代數學引入中國的情況非常熟悉，因此，楊振寧先生的說法是可信的，總之，大約一百餘年以前，微積分開始傳人中國。
