基本概念
廣義系統
廣義系統又稱為奇異系統，廣義狀態空間系統，微分代數系統等。廣義系統是客觀系統的一種自然表示，它可用來描述系統的更多性能特徵，已經在大系統、奇異攝動理論、電路理論、經濟學理論等方面得到廣泛的套用。另外，廣義系統也可作為一種處理問題的方法，這在當前處於如火如茶研究狀態中的時滯系統文獻中可見一斑。由於這些原因，廣義系統越來越受到學者的關注。
非線性系統
所謂非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。系統受到的這種影響是相對於系統輸入的運動特性來說的。由於組成系統的各部件在不同程度上存在非線性的性質，因此在實際生活中，絕對線性的系統是不存在的。為了改善系統的這種非線性性以得到穩定的系統，需要通過設計控制器來研究系統的穩定性，由此產生了相平面法、描述函式法和諧波平衡法等。在過去的幾十年里，對於非線性系統的研究，產生的很多新興的控制理論中，普遍結合了李雅普諾夫穩定性理論，例如以Kokotovic為代表的反推控制理論(Backstepping ) ，以義大利Isidorii教授為代表發展起來的微分幾何控制理論，以Swaroop和Hedrick等人為代表基於反推控制理論發展起來的動態面控制設計方法，以Zade和Mamdani教授為代表發展起來的模糊數學和模糊控制理論。迄今為止，李雅普諾夫方法己經成為研究非線性系統最常用也是最為完善的一種方法，通過構造李雅普諾夫泛函、構造系統控制器來研究非線性系統的穩定性也己取得顯著成效。
分類
非線性離散廣義系統
早在20世紀50年代，由於數字計算機在工程和科學上套用的增加，對控制理論家、經濟學家及生物學家來說，離散系統的研究就已經引起了人們的關注。尤其是近四十年來，隨著系統理論研究領域的擴大和計算機技術的廣泛普及套用，離散控制系統得到了迅速發展。由於數字計算機進行計算時在時間上是離散的，當一個系統用數字計算機進行控制或用數字計算機進行模擬、分析和設計時，就需要將時間變數考慮為離散變數，而描述的大都是非線性的，因此研究非線性離散廣義系統是有必要的。有的文獻主要對非線性離散廣義系統的輸出反饋H∞控制器的設計問題進行討論，首先利用廣義Lyapunov函式和線性矩陣不等式，對系統的零解E一漸近穩定性問題進行分析，在此條件基礎上給出系統零解E一漸近穩定且具有H∞範數約束的充分條件，然後設計系統的輸出反饋H∞控制器，使得閉環系統具有同樣的性能。有的文獻利用李雅普諾夫方法，研究了非線性離散廣義系統，給出了非線性廣義系統穩定性定理，就一類非線性離散廣義系統，給出了其按線性近似的穩定和不穩定的條件。有的文獻運用廣義Lyapunov函式方法研究了非線性廣義系統的穩定性問題，同時考慮具有某種分解該類大系統的漸近穩定性，又給出解的有界性，平穩振盪存在性的判別準則。有的文獻研究了非線性廣義系統的狀態觀測器問題，在理想系統(不存在干擾、不確定項和非線性項的廣義線性定常系統)完全可觀測的條件下，根據不同情況，分別利用廣義系統解的基本理論和正常系統Lyapunov穩定性理論，對所研究的非線性廣義系統分別設計了全階的奇異Luenberger型非線性狀態觀測器和降階的正常線性或非線性變結構狀態觀測器，從所得結論可知，在系統結構確定的情況下，只要非線性項滿足Lipschitz條件，則系統存在奇異全階非線性狀態觀測器；若系統存在干擾和不確定項，只要干擾和不確定項有界，系統存在降階的正常線性或變結構非線性的魯棒狀態觀測器。
非線性連續廣義系統
目前研究熱門主要在廣義非線性系統方面，在控制系統的理論研究和控制設計中，非線性系統的漸近穩定性都是非常重要的問題，也是人們關注和重視的，許多文獻都對此問題做過研究。由於非線性系統求解的困難性，廣義系統的求解與穩定性分析是系統控制問題的一個重要內容。對於廣義線性系統的控制分析與求解已經有了許多成型的研究成果。對於非線性廣義系統穩定性分析，通常要藉助於線性化系統分析，且有一定的附加條件，給複雜問題分析帶來不便。
在控制系統的理論研究中，穩定性和鎮定是密切相關的兩個重要概念。在控制設計中，常用的手段是基於判別穩定性的鎮定方法。廣義非線性系統的漸近穩定與鎮定問題一直受到人們的關注和重視。有的文獻對幾類特定的非線性系統設計出特殊的非線性控制器，使相應閉環系統成為漸近穩定系統。有的文獻研究了非線性廣義系統的魯棒鎮定問題。有的文獻研究了非線性廣義系統的魯棒控制問題。
穩定性是系統控制設計理論中的一個最基本性質，19世紀末俄國數學家Lyapunov建立了穩定性的基礎理論，提供了一套分析非線性時變系統穩定性強有力的工具，即引入正定且沿系統解的導數為負定的Lyapunov函式，來保證系統一致漸近穩定。隨之，Barbashin和Krosovskii將Lyapunov函式沿軌道導數負定的要求減弱為半負定，將結論推廣到周期時變系統中去，但是在將此想法推廣到一般的時變系統上去時，遇到了實質性的困難。
由於Lyapunov方法在判別系統穩定性時不依賴於系統的解，因而在控制設計中被廣泛套用，然而在通常情況下，尋找合適的Lyapunov函式卻是一件困難的工作。在控制套用中，我們常取能量函式作為備選Lyapunov函式，通常情況下能量函式本身是正定或半正定，其沿系統解的導數是半負定的。
已有的成果可以看成是Krosovskii-LaSalle定理在時變系統中的推廣。另一種方法是：一致收斂的持續激勵條件(PE條件)，對時變系統，PE條件是驗證一致吸引的很有用的工具，近年來的研究中，有些文獻中提到這些方法中給出的條件都比較難以驗證。Matrosov定理是驗證一致漸近穩定的很有效的工具，其特點是：利用C'Lyapunov函式建立一致穩定性以及利用C’輔助函式在一定條件下建立一致吸引性。
自加拿大學者Zames於1981年提出以控制系統內某些信號間的傳遞函式的H∞範數為最佳化指標的設計思想以來，H∞控制理論己取得了較大的進展，特別是在正常系統範圍內。眾所周知，在實際問題中大多數情況下是不能用線性模型來描述其真實系統的，而必須用非線性模型刻畫。有的文獻研究了廣義系統的魯棒控制問題，過去許多學者在這方面做了一些工作並取得了一定成果。但由於非線性系統較複雜，關於非線性廣一義系統的穩定性和魯棒控制方面的研究並不是很多。
難點
研究非線性廣義系統穩定性的難點在於：
(1)系統解的存在唯一性很難滿足；
(2)系統解可能有跳躍或脈衝行為；
(3)利用Lyapunov理論時，Lyapunov函式的導數一般不易計算。
有的文獻在系統相容初始條件已知的前提下，研究了非線性廣義系統的穩定性問題，給出了系統穩定的充分條件。在有的文獻中，Lyapunov穩定性理論被平行推廣到廣義系統。有的文獻給出了非線性廣義系統局部穩定的一個充分條件。有的文獻同時研究了一類非線性廣義系統的可解性和穩定性。有的文獻利用廣義向量Lyapunov函式討論了一類廣義大系統的穩定性問題。有的文獻研究了Lipschitz非線性廣義系統的穩定性問題，給出系統穩定的充分條件。
套用背景
二十多年來，人們發現，用廣義系統來刻畫實際系統套用中經常遇到的一些系統比正常系統來的自然、方便、精確的多。例如，在經濟系統中，1977年Luenberger和Arbel發現著名的動態投入產出模型就是典型的廣義系統，紐曼模型也屬於廣義系統。另外，像受限機器人，核反應堆等都必須用廣義系統模型來刻畫。廣義系統是刻畫和描述實際系統的有力工具，廣義系統模型的提出具有深刻的實際套用背景，且存在於社會生產的諸多領域中。例如：電力系統、經濟系統、電子網路、機器人系統、宇航系統和環境系統等。
