簡要證明
庫默爾定理組合數 所含p的冪次數為
庫默爾定理
庫默爾定理=
庫默爾定理
庫默爾定理這是因為組合數公式 以及n！含有素數p的冪次公式vp(n!)= 。
庫默爾定理
庫默爾定理 庫默爾定理 庫默爾定理對於某個p^i， 等於m在p進制表示下去掉後i位，在第i+1位上，m+n在這一位上進位的充要條件是 =1，不進位則 =0.因此 就是m+n在p進制下的進位次數。
套用舉例
庫默爾定理例 （2014 CMO 30，4，21分）求具有下述性質的所有整數k：存在無窮多個正整數n，使得n+k不整除 。
庫默爾定理
庫默爾定理
庫默爾定理解 ∵ = = ,
庫默爾定理 庫默爾定理 庫默爾定理∴ = - 是整數，
庫默爾定理∴n+1| 對任意正整數n成立，從而1不滿足要求。
當k≤0時，取n=p-k（p為奇素數，p>-2k），滿足要求。
庫默爾定理當k≥2時，取k的一個素因子p，選取正整數m使得p^m>k，令n=p^m-k，我們證明：n+k不整除 。
顯然有n>0，由n<p^m知n在p進制下最多m位，∵p|k，p|p^m，∴p|n。∴在p+1進制下n個位為0.
庫默爾定理∴2n=n+n最多進位m-1次。由庫默爾定理， 最多有m-1個p，∵n+k=p^m，∴
