帕普斯定理

帕普斯(Pappus)定理:直線L1上依次有點A,B,C,直線L2上依次有點X,Y,Z.設AY,BX交於P,AZ,XC交於R,BZ,YC交於Q,則P,Q,R共線。

證明

記PQ與XC交於U,PQ與AZ交於V,只需證明U,V重合，即PU/qu=PV/QV
由共邊比例定理可知，PQ/QU=PXC面積/QXC面積(1),QV/PV=QAZ面積/PAZ面積(2)
而PXC面積=(PXC面積/BXC面積)*BXC面積
=(PX/BX)*BXC面積
=(PX*BXC面積)/(BP+PX)
=(AXY面積*BXC面積)/(ABY面積+AXY面積）
=(AXY面積*BXC面積)/ABXY面積
同理，QXC面積=(BCZ面積*XYC面積)/BCZY面積
QAZ面積=(YZC面積*ABZ面積)/BCZY面積
PAZ面積=(ABX面積*AYZ面積)/ABXY面積
以上四式代入(1)(2),得到
(PU/QU)*(QV/PV)
=(AXY面積/AYZ面積)*(BXC面積/ABX面積)*(YZC面積/XYC面積)*(ABZ面積/BCZ面積)
=(XY/YZ)*(BC/AB)*(YZ/XY)*(AB/BC)
=1
故命題得證。