最初構想
希爾伯特在談到“無限大數”的奇怪而美妙的性質時說到：
我們構想有一家旅館，內設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了一位新客，想訂個房間，“對不起”，旅館主人說，“所有的房間都住滿了。”
希爾伯特旅館現在再構想另一家旅館，內設無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時也有一位新客，想訂個房間。“不成問題！”旅館主人說。接著他就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。
我們再構想一個有無限個房間的旅館，各個房間也都住滿了客人。這時又來了無窮多位要求訂房間的客人。“好的，先生們，請等一會兒。”旅館主人說。
於是他把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到4號房間，3號房間的旅客移到6號房間，如此等等，這樣繼續下去。現在，所有的單號房間都騰出來了，新來的無窮多位客人可以住進去，問題解決了！
此時，又來了無窮多個旅行團，每個旅行團有無窮多個旅客，只見這個老闆不慌不忙，讓原來的旅客1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號。這樣，1號，3號，5號……所有奇數房間就都空出來了。
房屋安排
讓1號旅行團到3號，3^2號，3^3號，3^4號，…，3^k號。
讓2號旅行團到5號，5^2號，5^3號，5^4號，…，5^k號。
讓3號旅行團到7號，7^2號，7^3號，7^4號，…，7^k號。
讓4號旅行團到11號，11^2號，11^3號，11^4號，…，11^k號。
將所有奇素數排成一列，也是一個可列無窮集合，然後讓
1號旅行團到第1個素數的k次冪房間；
2號旅行團到第2個素數的k次冪房間；
3號旅行團到第3個素數的k次冪房間…
這樣不僅安排下了所有旅客，而且空出了1，15，21，33，35……這些不能表示為奇素數的k次冪的房間。
