基本信息
奧馬爾·海亞姆的全名是吉亞斯丁·阿布·法斯·奧馬爾·本·伊卜拉欣·內沙布里（Ghiyāth Dīn abu’l－Fath‘Umar ibn Ibrāhīm Nīsābūrī）．從他的名字可以知道他的家族大致情況①．父親是伊卜拉欣，有一個兒子名法斯，奧馬（‘Umar也拼作Omar）是他自己的名字，吉亞斯丁（Ghiyāth Dīn）原意是“信仰的幫助”，是後來獲得的尊稱，內沙布里表明他來自內沙布爾或籍貫是內沙布爾．西方人更多地稱他為奧馬爾海亞姆或海亞米（Khayyāmī），“海亞姆”是製造或經營帳篷的職業，說明他的父親或祖輩是從事這種工作的．
個人履歷
背景介紹
奧馬爾出生之前，西亞地區政局動盪不安．11—12世紀，塞爾柱（Seljuk)土克曼人(Turkmen）在那裡建立一個龐大但不穩固的軍事帝國，占有兩河流域和波斯、敘利亞、巴勒斯坦、喬治亞、亞美尼亞等地．奧馬爾早年在家鄉受教育，以後成為一名家庭教師，生活是清苦的，沒有很多閒暇去從事科學研究．奧馬爾在他的《代數學》中寫道：“我不能集中精力去學習這種‘代數學’，時局的變亂阻礙著我，……．”儘管如此，奧馬爾仍然寫出了頗有價值的《算術問題》（Problems of arithmetic）和一本關於音樂的小冊子．
工作經歷
1070年左右，奧馬爾來到撒馬爾罕（Samarkand，今屬烏茲別克斯坦）．在當地統治者阿布·塔希爾（Ab&T1hir）的庇護下，奧馬寫成他的主要代數著作《還原與對消問題的論證》。
（Ris1la fi’l－bar1hīn‘al1 mas1’il aljabr wa’l-muq1bala，Treatise on demonstration of problems of algebra and almuqa－bala），簡稱《代數學》．不久，他又接受塞爾柱蘇丹（Sultan，最高統治者的稱號）賈拉勒丁·馬利克沙（Jalal Dīn Malik shah，1055—1092）和他的大臣尼扎姆·穆勒克（Nizam Mulk)的邀請，前往伊斯法汗(lsfahan，今伊朗西部），管理那裡的天文台，進行曆法改革．他在那裡工作了18年之久．這是他一生中最安謐的日子．
1092年，政治氣候突變，馬利克沙去世，庇護人尼扎姆·穆勒克遭到暗殺，奧馬爾備受冷遇．馬利克沙的第二個妻子圖爾坎·哈通（Turk1n－Kh1t&n）接替執政二年，對奧馬爾很不友善，撤消了天文台的資助，研究工作被迫止，曆法改革半途而廢．奧馬爾雖已失去昔日的恩寵，但仍留在塞爾柱的宮廷里，盡力勸說馬利克沙的繼承者重新支持天文台和開展一般的科學研究．他描述波斯古代的統治者寬宏大量，尊重學者，致力於興辦教育，發展科學，為文化事業立下不朽的功勳．
奧馬爾始終未能說服當權者．1118年，馬利克沙的第三子桑賈爾（Mu‘izz Dīn Sanjar，1084？—1157）登上王位．奧馬爾離開伊斯法汗，到塞爾柱帝國的新首都梅爾夫[Merv，今馬雷（MapЬI），屬土克曼斯坦]．他和弟子們一起寫了《智慧的天平》（Balance of wisdoms）等書，研究如何利用金屬比重去確定合金的成分，所用方法是純粹代數的．這問題源出於阿基米德的研究．
奧馬爾是一個淵博的科學家，但在西方卻以詩人而聞名．他寫了很多四行詩（quatrain），其中透露出無神論的自由思想．這在他的一生中導致很多麻煩．晚年的時候，他甚至到麥加去朝覲，力圖洗刷人們對他的無神論的指控．
曆法改革
奧馬爾在伊斯法汗期間，領導一批天文學家編制天文表，為了紀念庇護人，定名為《馬利克沙天文表》（Zīj Malik-sh1hī，Maliksh1hAstronomical Tables），現在只有一小部分流傳下來，其中包括黃道坐標表和100顆最亮星的星表等．
天文台更重要的工作是進行曆法改革．波斯地區自古以來就使用陽曆，公元前1世紀施行瑣羅亞斯德教（Zoroaster，中國史稱祆教、拜火教）的陽曆，定一年為365天，分12個月．薩珊王朝（公元226—621年）定陽曆為官曆。阿拉伯人征服這個地區以後，實行伊斯蘭教的陰曆．這種歷分一年為12個月，6個大月，6個小月，大月30天，小月29天，全年354天．閏年增加一個閏日成為355天，30年加11個閏日．陰曆一年和實際的回歸年365.2422日相差約11天，因此和四季是不合拍的，這對農業很不方便．奧馬爾時代，波斯人繼續使用傳統的陽曆，但因置閏的方法不精，漸漸產生誤差．有識之士看到，曆法要符合天時，必須進行根本的改革．
馬利克沙執政後，在伊斯法汗興建天文台，聘請以奧馬爾為首的一群天文學家去完成改革的任務．奧馬爾提出在平年365天的基礎上，每33年365.2422 日僅相差19.37秒鐘，積4460年才差1天．而現行的公曆（格里曆）400年置97個閏日，歷年長365.2425日，3333年差1天．
值得注意的是，如將0.2422展成連分數，可知各個漸近分數是128年差1天．第2個分數是29年7閏，1218年差1天．根據有理逼近的理論，比奧馬爾閏法（33年8閏）更精密的閏法有95年23閏，1萬年以上才差1天．如果限定周期小於95年，那么33年8閏就是最佳的選擇．這表明奧馬爾有較高的理論水平．他以1079年3月16日為曆法的起點，定名為“馬利克紀元”（Malik9era）或“賈拉勒紀元”（Jal1l9 era）．可惜改歷工作隨著領導人的死亡而夭折．
伊斯蘭教的陰曆主要用於宗教，它最大的缺點是和寒暑完全脫節，夏天有時在1月，有時在6月．而奧馬爾改革後的陽曆和四季是一致的．他對此頗感欣慰，曾作四行詩以詠其事：
啊，人們說我的推算高明，
我曾經把舊曆的歲時改正——
誰知道那只是從曆書之中
消去未生的明日和已死的昨晨．
生平貢獻
高次方根
奧馬爾在《代數學》一書中寫道：“印度人有他們自己的開平方、開立方方法，……我寫過一本書，證明他們的方法是正確的．我並加以推廣，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．這些代數的證明僅僅以《幾何原本》的代數部分為根據．”
這裡所說他寫的書可能就是《算術問題》．萊頓大學藏有奧馬著作的手稿，但只有《算術問題》的封面，內容已遺失．
奧馬所了解的“印度算法”，實際來自兩本較早的書．一本是吉利（Kushy1ribn Labb1n al－J9l9）的《印度計算原理》（Princi-ples of Hindu reckoning）；另一本是奈塞維（‘Al9 ibn Ahmadal－Nasaw9）的《印度計算必備》（Things sufficient to understandHindu reckoning）．然而這些書所記述的開平方、開立方法和印度文獻所載的相去頗遠，倒是和中國古代的方法密近．中國的《九章算術》早已給出開平方、開立方的完整法則，並推廣用於方程的數值解．伊斯蘭數學很可能受到中國直接或間接的影響，因為自古以來絲綢之路就是中國和中亞的交通要道．不過由於他們使用了10個印度數碼，於是被誤認為“印度算法”．
在現存的阿拉伯文獻中，最早系統地給出自然數開高次方一般法則的是納西爾丁·圖西（Nasir Din Tusi，也稱圖斯）編纂的《算板與沙盤算術方法集成》（Collection on arithmetic by meansof board and dust）．他沒有指出發明者，但他非常熟悉奧馬爾的工作，故很可能來自奧馬爾．
解三次方程
中世紀的阿拉伯數學家對圓錐曲線作了很多探索．最值得稱道的是奧馬爾海亞姆用圓錐曲線來解三次方程．這種方法可以溯源於希臘的門奈赫莫斯（Menaechmus），事實上他就是為了解決倍立方問題（相當於三次方程x3=2a3）而發現圓錐曲線的．後來阿基米德在《論球與圓柱》（On the sphere and cylinder）卷2命題4提出這樣的問題：用一平面把球截成兩部分，使這兩部分的體積成定比．這問題導致三次方程
x2(a-x)=bc2．
解法的要點是求兩條圓錐曲線的交點，一條是雙曲線（a－x)y=ab，另一條是拋物線ax2=c2y．
阿基米德的“平面截球問題”引起阿拉伯數學家的極大興趣．巴格達的馬哈尼（al－M1h1nī）最先試圖用代數方法去解，但沒有成功．後來哈津（AbūJa1cfar al－Kh1zin）用圓錐曲線來解．研究這問題的還有庫希（al－Kuhi）、伊本·海塞姆（Ibn al－Haytham）、艾布爾·朱德（Abu’l Jud）等．
奧馬的功勞，在於考慮了所有形式的三次方程．由於他只取正根，係數也只限於正數，因此三次方程有各種不同的類型．他將一、二、三次方程歸結為25類，屬於三次方程的14類：缺一、二次項的x3=a；缺二次項的3類：x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次項的3類：x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺項的7類：x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．
每一類都給出幾何解法，即用兩條圓錐曲線的交點來確定方程的根．奧馬在《代數學》中，專門闡述了方程的幾何解法．1851年，F．韋普克（Woepcke）將此書從阿拉伯文譯成法文，書名為《奧馬海亞姆代數學》（L’algèbre d’Omar Alkhayyāmī）．以後又有D．S．卡西爾（Kasir）英譯校訂本《奧馬海亞姆代數學》（The algebra of Omar Khayyam，1931）．下面取出其中的一個例子，用現代術語和符號來分析奧馬的方法（文獻[1]， p．75）．
要解的方程是
x3+ax=b．⑴
按照希臘人的觀點，將一個數看作一個線段，那么兩個數之積就是矩形，三個數之積是長方體．同維數的量才能相加，所以先將方程改成齊次的形式
x3+c2x=c2h．⑵
右端c2h表示一個以c，c，h為邊的長方體．
用解析幾何的語言來說，方程⑵的根就是拋物線
x2=cy(3 )
和半圓周
y2=x(h-x）⑷
交點的橫坐標x．因為從⑶，⑷兩式消去y，就得到⑵．
此題在原書中是第6章第1題，完全用文字敘述，沒有方程的形式．方程⑵表述為“立方與邊（根）等於一個數”．解題的步驟是：以BO=h為直徑作半圓BPO，作AOD⊥BO，以O為頂點，OA=C為參數”（正焦弦）作拋物線POQ交半圓周於P．作PD⊥AD，PE⊥BO，則PD就是⑵的根（圖1）．
事實上，記PD=x，PE=y，在半圓內，
PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x），
根據拋物線的性質，
PD2=x2=OA·PE=cy，
這正是⑶，⑷兩式．
奧馬曾探索過三次方程的算術（代數）解法，但沒有成功．他在《代數學》中寫道：“對於那些不僅含有常數項、一次項、二次項的方程，也許後人能夠給出算術解法”．經過幾百年的努力，三、四次方程的一般代數解法直到16世紀才由義大利數學家給出，五次以上方程的可解性問題到19世紀才解決①．
幾何代數學
奧馬發展了歐幾里得的幾何代數學，使幾何與代數更緊密地聯繫起來，這是一項重要的貢獻．可惜在1851年韋普克的譯本出現之前，歐洲人幾乎完全不知道他的工作（儘管在18世紀已有一些零星的介紹）、否則解析幾何的發現和推進會更加迅速．
用現代的觀點看，如果引入負數並承認負根，三次方程可以寫成統一的形式
x3+ax2+b2x+c3=0，⑸
不必如此煩瑣地分類．以
x2=py⑹
代入⑸，得到
pxy+apy+b2x +c3=0．⑺
⑹是拋物線，⑺是雙曲線．作出這兩條線，交點的橫坐標便是⑸的根
研究《幾何原本》
奧馬在歐幾里得幾何的研究方面有兩項貢獻，一是對平行公設的試證，二是對比與比例提出新的見解．
早在9世紀，當歐幾里得《幾何原本》傳入伊斯蘭國家後，第五公設就引起學者們的注意．所謂第五公設或平行公設就是在《原本》中提出的公理：“如果一直線和兩直線相交，所構成的兩個同旁內角之和小於兩直角，那么，把這兩直線延長，它們一定在那兩內角的一側相交．”這公設不論在詞句或內容方面都比其他四個公設複雜得多，而且也不那么顯而易見．人們自然會發生是否可以證明的疑問．
伊斯蘭學者對此公設進行試證的有焦哈里（Jawharī），薩比特·伊本·庫拉（Thābit ibn Qurra），伊本·海薩姆（Ibn Haytham，即hazen），奧馬爾海亞姆等人．實質上他們並沒有證明了公設，而是採用另外一與之等價的公設來代替它．
奧馬爾在1077年撰寫了《辯明歐幾里得公設中的難點》（Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid）一書，討論了兩個難題，一是平行公設，二是比的問題．他考察四邊形ABCD，DA與CB同垂直於AB且DA=CB（圖2）．無需用平行公設，很容易證明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三種可能：⑴等於直角；⑵等於鈍角；⑶等於銳角．若採用平行公設．可以證明∠C，∠D等於直角．反之，若能證明∠C，∠D等於直角，便可推出平行公設．奧馬用反證法，“證明”鈍角、銳角假設必導致矛盾，因此只有直角的情形成立，這就無異證明了平行公設．但他的證明是有缺陷的，實際是引入下述假設來代替平行公設：兩條直線如果越來越接近，那么它們必定在這個方向上相交．所以他也未解決平行公設問題．
18世紀時，G．薩凱里（Saccheri）重新研究這個四邊形（後人常稱之為“薩凱里四邊形”），由此得出一系列互不矛盾的命題．他和前人雖然未建立（也未意識到）非歐幾何，但已為非歐幾何的誕生鋪平了道路．
比與比例
比與比例也是奧馬研究的中心問題．早在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派就建立過比例論，不過只限於可公度量．如果A，B兩個量可公度，即存在正整數m，n，使得mA=nB，則
就是一個數．但若A，B不可公度，他們便認為A與B無法相比．這樣就很難建立一切量的比例論．歐多克索斯(Eudoxus of Cni－dus）為了擺脫這一困難，另立“比”的定義：如果一個量加大若干倍之後就可以大於另一個量，則說這兩個量有一個“比”．接著定義“比例”：設有A，B，C，D4個量，A與C，B與D分別乘以同樣的倍數m，n，如果
則說兩個比A∶B與C∶D相等，即4個量可構成比例A∶B=C∶D．
歐多克索斯採取這一定義是煞費苦心的，這樣可迴避無公度的麻煩，由此出發完成了適用於一切量的比例論．歐幾里得將歐多克索斯的理論編入《原本》成為卷V．伊斯蘭學者並不懷疑比例論的真理性，而是對其立論的出發點即比例的定義持有異議．最先提出新定義的是馬哈尼（al－M1h1n9，他的思路可用現代術語表述如下：將A/B及C/D展開成連分數，A/B=(q1，q2，…，qn，…），C/D=(q′1，q′2，…，q′n，…），其中qi，q′i(i=1，2，…）是各個偏商．如果qi=q′i(i=1，2，…）則稱A，B，C，D成比例，即A/B=C/D．馬哈尼認為這定義能更好地揭露比例的本質．它適用於可公度量與不可公度量，在可公度的情況，n是有限的．
奧馬論證了這種定義和《原本》中比例定義的等價性，進而研究比及比例的若干性質，對伊斯蘭數學和西方數學都有重要的影響．
另一方面，希臘人雖然承認無公度的兩個量A，B有比，但始終不承認A/B是一個數（即無理數），這就大大妨礙了數學的發展．奧馬勇敢地衝破這一桎梏，主張擴大數系，將無公度量的比接納在內．例如2的平方根，圓周長與直徑的比等等，應該考慮為一種新的數．這在思想上是一次不尋常的飛躍，是建立實數系的先聲．然而直到19世紀才真正實現了他的理想．
四行詩
四行詩很像中國的絕句，每首四行，第一、二、四行押韻．奧馬爾究竟寫了多少首四行詩，沒有準確的數字．劍橋大學圖書館藏有最早的（1208年）手抄本，收入252首．而在他名義下出版的波斯文詩集多達1069首．但有人考證只有一百多首確實是他作的．1859年，英國詩人菲茨傑拉德（Edward Fitz Gerald）將75首譯成英文，取名“Rubáiyát of Omar Khayyam”，廣為流傳．郭沫若於1928年將英譯本譯成中文，題名《魯拜集》．（魯拜是阿拉伯語，意為四行詩．）
奧馬爾曾寫過幾種哲學著作，他的四行詩也包含很多哲理，其中表露的思想相當複雜．很難作出一致的評價．一方面，詩作的可靠性問題眾說紛紜；另一方面，在官方的示意下有時很難暢所欲言．因此對他的議論褒貶不一，毀譽參半．總的來說，他不囿於伊斯蘭教所宣揚的真主創造世界的觀點，對窒息學術探討的社會環境表示不滿．正統的穆斯林不喜歡他，但廣大讀者愛讀他的詩，從中得到啟迪，進而探索人生的真諦．後人為了紀念他，1934年由多國集資，在內沙布爾為他修建了一座高大的陵墓．
