背景
圓柱容球當時阿基米德負責城防工作，他設計製造了一些靈巧的機械來摧毀敵人的艦隊。他用投火器將燃燒的東西彈出去燒敵人的船艦，用一些起重機械把敵人的船隻吊起掀翻，以至後來羅馬人甚至不敢過分靠近城牆，只要看見城牆出現象繩子之類的玩意兒，就嚇得趕快逃跑。 然而三年以後，即在公元前212年，該城還是被攻陷了。 據說羅馬兵入城時，統帥馬塞拉斯出於敬佩阿基米德的才能，曾下令不準傷害這位賢能。而阿基米德似乎並不知道城池已破，又重新沉迷於數學的深思之中。 一個羅馬士兵突然出現在他面前，命令他到馬塞拉斯那裡去，遭到阿基米德的嚴詞拒絕，於是阿基米德不幸死在了這個士兵的刀劍之下。 另一種說法是：羅馬士兵闖入阿基米德的住宅，看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形（還有一種說法他在沙灘上畫圖），士兵將圖踩壞，阿基米德怒斥士兵："不要弄壞我的圓！"士兵拔出短劍，這位曠世絕倫的大科學家，竟如此地在愚昧無知的羅馬士兵手下喪生了。 馬塞拉斯對於阿基米德的死深感悲痛。他將殺死阿基米德的士兵當作殺人犯予以處決，並為阿基米德修了一座陵墓，在墓碑上根據阿基米德生前的遺願，刻上了"圓柱容球"這一幾何圖形。 隨著時間的流逝，阿基米德的陵墓被荒草湮沒了。後來，西西里島的會計官、政治家、哲學家西塞羅（公元前106~前43年）遊歷敘拉古時，在荒草發現了一塊刻有圓柱容球圖形的墓碑，依此辯認出這就是阿基米德的墳墓，並將它重新修復了。
證明公式
球的表面積及體積計算公式： V球=4/3πr^3；S球=4πr^2。（r為球的半徑）
討論：公式的特點；球面是否可展開為一個平面圖形？ （證明的基本思想是：“分割→求體積和→求極限→求得結果”，以後的學習中再證明球的公式）
練習：一個氣球的體積擴大2倍，那么它的表面積、體積分別擴大多少倍？ 2.體積公式的實際套用：
示例：一種空心鋼球的質量是142g，外徑是5.0cm，求它的內徑. （鋼密度7.9kg/cm3）
討論：如何求空心鋼球的體積？
列式計算 → 小結：體積套用問題.
示例：有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放入一個半徑為R的球，並注入水，使水面與球正好相切，然後將球取出，求此時容器中水的深度.
圓柱容球定理是這樣的：
圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對稱軸旋轉一周生成的幾何體稱為圓柱容球。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱全面積的三分之二。
在今天看來這個定理不難證明,事實上：
設圓的半徑為R，球的體積與圓柱的體積分別為V球及V柱，球的表面積與圓柱的全面積分別為S球及S柱，則有:
V柱=底面積×高=πr^2×2r=2πr^3
V球=4/3πr^2
V球=2/3V柱
S柱=側面積+上下底面積=2πr×2r+2πr^2=6πr^2
S球=4πr^2
S球=2/3S柱
證明方法
在當時並不知道球的面積和體積公式，阿基米德用窮竭法來解決面積問題，用槓桿法來解決體積問題
設一圓柱豎直放立水平平面上，底面直徑等於高等於2r，中有一內切球，另有底面半徑為2r的頂點在圓柱上底中心的圓錐。圓錐底面與圓柱下底共面。
用兩兩相距極近的一組水平平面截這三個立體任取離圓錐頂為h的一片，它厚為Δh。把球上的那片和圓錐上的那片掛在支點在中點，全長為4r的槓桿的左端上，把柱上的那片掛在支點右側距支點h的點處。
我們可知道，當h足夠小時，三者相差無幾。
即
V球片≈Δh[πh﹙2r﹣h﹚]
V錐片≈Δhπh2
柱片體積為 V柱片=Δhπr2
設密度皆為1則球片與錐片形成的力矩的絕對值為
2r [πh﹙2r-h﹚+πh2Δ]Δh=4πhΔhr2
上式右端正好有柱片的 力矩的絕對值 ，4為平衡係數。
若將一切碎片都如上掛在槓桿上，則左端的總力矩絕對值為
2r[V球+V錐]
右端的總力矩的4倍為rV柱，而V柱形成的理據是質量集中在其重心，其力臂為重心到支點Oˊ的距離r。
即
2r[V球+V錐]=4rV柱 ①
又已知V錐=8r3/3，V柱=2πr3,
代入①得
V球=4πr3/3
