定理介紹
衍生原理
衍生原理
圓外蝴蝶定理如圖，左邊的是圓內蝴蝶定理，右邊的是圓外蝴蝶定理，我們可以推理，一條直線L進過圓O內部，過O且垂直於直線L的直線h，P為垂足，圓內兩條弦AB、CD交於P，CB與AD所在直線交直線L於M、N，CA和BD所在直線交直線L於E、F，當直線L以垂線h方向向圓外移動，至直線L不與圓相交時，垂足兼交點的P移動到圓外，就形成了右邊的圓外蝴蝶定理，且得出的結論與圓內蝴蝶定理完全一樣：PM=PN，PE=PF
相同點
同樣擁有蝴蝶一樣的形狀，在解法上，幾乎一模一樣，目前解決圓外蝴蝶定理的正向證明有很多，其中在蝴蝶定理與圓外蝴蝶定理通用的解法有：過圓心做垂直，利用垂弦定理，相似三角形，四點共圓，全等；另外一種則是不用圓心，直接做平行，導圓周角，四點共圓。而在解決逆向證明的時候，前者沒有“對偶解法”則會失效，而後者的“對偶解法”—— 做對稱三角形，則與 做 平行線成了兩種解決一切圓有關的蝴蝶定理正、逆向證明以及其擴展形式的通用對偶解法。
對比證明
正向證明——做平行線
（1）如圖（1）圓內蝴蝶定理的證明，已知P為弦EF中點，求證PM=PN
解：輔助線：過D點做MN的平行線，交圓O於Q，連線PQ，QN，BQ
∵DQ∥MN，P為EF中點
∴易證PD=PQ
∴∠PDQ=∠QPN
又∵∠CDQ+∠CBQ=180°
∴∠NPQ+∠NBQ=180°
∴P、N、B、Q四點共圓
∴∠CBA=∠NQP=∠MDP
∵∠MPD=∠NPQ，PD=PQ，∠PDM=∠PQN
∴△PDM≌△PQN（ASA）
∴PM=PN
如圖（2）圓外蝴蝶定理的證明，已知OP⊥MN，求證PN=PM
（2）解：輔助線：如（1）所述
∵DQ∥MN，OP⊥MN
∴易證PD=PQ ∠NQP=∠MDP ∠DPO=∠QPO(根據圓的對稱性)
∴∠PDQ=∠QPM ∠MPD=∠NPQ
又∵∠CDQ+∠CBQ=180°
∴∠MPQ+∠NBQ=180°
∴P、N、Q、B四點共圓
∴∠CBA=∠NQP=∠MDP
∵∠MPD=∠NPQ，PD=PQ，∠PDM=∠PQN
∴△PDM≌△PQN（ASA）
∴PM=PN
逆向證明——做對稱三角形
（3）如圖（3）圓內蝴蝶定理的逆向證明，已知PM=PN，求證P為EF中點
解：輔助線：做△PMD關於MN中垂線對稱的△PNQ，連線DQ，BQ
∵△PMD與△PNQ對稱
∴△PMD≌△PNQ
∴∠ADC=∠PQN=∠ABC
∴P、N、B、Q四點共圓
∴∠NPQ+∠NBQ=180°
∵PD=PQ，DQ∥MN
∴∠NPQ=∠CDQ
∴∠CDQ+∠CBQ=180°
∴Q在圓O上
∴易證OP⊥DQ
∴OP⊥EF
∴P為EF中點
（4）如圖（4）圓外蝴蝶定理的逆向證明，已知PM=PN，求證PO⊥MN
解：輔助線：如（3）所述
∵△PMD與△PNQ對稱
∴△PMD≌△PNQ
∴∠ADC=∠PQN=∠ABC
∴P、N、B、Q四點共圓
∴∠MPQ+∠NBQ=180°
∵PD=PQ，DQ∥MN
∴∠MPQ=∠CDQ
∴∠CDQ+∠CBQ=180°
∴Q在圓O上
∴易證OP⊥DQ
∴OP⊥MN
擴展
擴展形式（正向證明）如圖，弦DC與BA延長交於圓外一點P，延長弦DB與AC，與過P點的OP的垂線分別交於N、M，求證PM=PN（正向證明）
解：輔助線：過D點做MN平行線，交圓O於Q，連線MQ，PQ，AQ
∵OP⊥MN，DQ∥MN
∴OP⊥DQ
∴PD=PQ
∴∠PDQ=∠QPN
∵∠PDQ+∠CAQ=180°
∴∠QPN+∠MAQ=180°
∴P、M、Q、A四點共圓
∴∠MQP=∠MAP=∠NDP
∵∠QPM=∠DPN，PQ=PD，∠MQP=∠NDP
∴△MPQ≌△NPD（ASA）
∴PM=PN
擴展形式（逆向證明）如圖，弦DC與BA延長交於圓外一點P，延長弦DB與AC，與過P點的直線分別交於N、M，若PM=PN，求證OP⊥MN（逆向證明）
解：輔助線：做△PDN關於MN中垂線對稱的△PQM，連線DQ，AQ
∵△PDN與△PQM對稱
∴△PDN≌△PQM
∴∠PDB=∠PAC=∠MQP
∴P、M、Q、A四點共圓
∴∠QPN+∠MAQ=180°
∵PD=PQ，DQ∥MN
∴∠QPN=∠PDQ
∴∠PDQ+∠CAQ=180°
∴Q在圓O上
∴易證OP⊥DQ
∴OP⊥MN
套用
輔助線套用如圖，鈍角△ABC，H為其垂心，O為其外心，連線CH，延長BA與CH交於D，過D做OD的垂線，與CA的延長線交於E，求證∠CAB=∠DHE
解：輔助線：做出△ABC的外接圓圓O，圓O與CH交於F，連線BH，連線BF並延長與ED延長線交於G
∵H為△ACB的垂心
∴BA⊥CH，CA⊥BH
∴∠DBH=∠DCA=∠DBF
∵∠FDB=∠HDB，BD=BD，∠DBF=∠DBH
∴△DBF≌△DBH（ASA）
∴DF=DH
∵BF與CA的延長線交OD垂線於G、E
∴DG=DE（圓外蝴蝶定理）
∵DF=DH，∠FDG=∠HDE，DG=DE
∴△FDG≌△HDE（SAS）
∴∠GFD=∠CFB=∠CAB=∠DHE
