基本介紹
囿空間
囿空間
囿空間 囿空間定義1 若是局部凸空間，如果上不能引入更強的局部凸拓撲，使其有界集與有界集一致，則稱為 囿空間。
囿空間
囿空間 囿空間
囿空間註：定義就是說，若，且有界集與有界集一致，則。
囿空間定理1 若是局部凸空間，則下列等價；
(1) X是囿空間；
囿空間 囿空間(2) 吸收任意有界集的凸集都是0點鄰域；
囿空間(3) 任何在有界集上取值有界的半范是連續的。
囿空間 囿空間 囿空間
囿空間
囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間
囿空間證明：① 若X是囿空間，且V是吸收任意有界集的凸集，若V不是0點鄰域，則在0點鄰域子基中補上得到集，以為0點鄰域子基得到新的局部凸拓撲，顯然嚴格強於，且與有同樣的有界集，這與囿空間定義矛盾，故(1)(2)。
囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間 囿空間② 若X不是囿空間，則在X中可引入局部凸拓撲，使嚴格強於，且與有同樣的有界集，從而必存在0點鄰域，它不是0點鄰域，故(2)(1)。
囿空間 囿空間 囿空間
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囿空間 囿空間③ 若X中吸收任意有界集的凸集是0點鄰域，又A是有界的。p是X的半范，且當時有，則。從而，故吸收任意有界集，因此，故p是連續的，所以(2)(3)。
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囿空間 囿空間 囿空間④ 若X不是囿空間，則存在局部凸拓撲，使與有同樣的有界集，且存在一個凸的均衡吸收集V，它是的0點鄰域而不是的0點鄰域，故是在每個有界集上取值有界的半范，但不是公連續的．故(3)專(1)．口
囿空間
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囿空間註：任給局部凸空間，我們在X上可以引入一個局部凸拓撲，稱為，它是以吸收任何有界集的一切凸集為0點局部基。容易看到，是囿空間，有界集與有界集是一致的，且。
相關定理
定理2 任何賦可列半范的局部凸空間是囿空間，特別地，賦范空間是囿空間 。
證明：不妨設
囿空間 囿空間若存在一個吸收任何有界集的凸集V，它不是0點鄰域，令是相應的Minkowski泛函(不妨設V是均衡的)。
對X中任何有界集E，由於V吸收E，故有
囿空間
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囿空間但由於V不是0點鄰域，故對任何正整數n及，有⊄，，從而存在，所以，，但，令，當時，由(1)，
囿空間
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囿空間故是X中有界集，但，故
囿空間這與(2)矛盾。
囿空間定理3 設是局部凸空間，則X是囿空間若且唯若從X到任意局部凸空間Y的線性有界運算元是連續的。
囿空間
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囿空間
囿空間證明：設X是囿空間，Y是局部凸空間，是線性有界運算元(有界指將有界集映成有界集)。設W是Y的0點凸鄰域，則是X中凸集，且吸收X中任意有界集(事實上，設E是X中有界集，則是Y中有界集，故存在，使，故)，由於X是囿空間，故V是0點領域，從而T是連續的。
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囿空間 囿空間又令是恆等運算元，由定理1的注知道是有界線性運算元，是局部凸空間，由假設條件知是連續的。從而，但另一方面，顯然，故，從而是囿空間。
推論1若X是囿空間，則X上的每個有界線性泛函必是連續的。
囿空間推論2 若X是Banach空間，Y是局部凸空間，則任何有界線性運算元必是連續的 。
