單峰映象

單峰映象，是一種多項式映射，顯示了簡單非線性動力方程能帶來混沌的結果。

單峰映象
是種多項式映射，顯示了簡單非線性動力方程能帶來混沌的結果。這種映射因生物學家Robert May在1976年發表的一篇論文而著名。單峰映象原本被Pierre François Verhulst用作一個人口學模型，後來套用在物種受到限制因素之下的數目。這是根據兩個平常現象：
繁殖增加的人口跟物種的原本的總數目（大約）正比；
餓死的數目，跟環境資源的“最大容量”減去物種中成員死亡的數目成正比。
數學上可寫成xn + 1 = rxn(1 − xn)，其中xn是介於0和1之間的數，表示在第n年的物種數目。r是正整數，是根據繁殖和餓死率而得出的數。
r的值對結果的影響
不論x_0（開始數目）的大小，r的值：
0和1之間：xn會越來越少，趨近0；
1和2之間：經過幾次疊代，xn便為(r − 1) / r，穩定地發展；
2和3之間：經過幾次疊代，xn也會越來越接近(r − 1) / r，但最初會在這個值左右振動，而這個趨近率是線性的；
3：xn仍然會越來越接近(r − 1) / r，但趨近率不是線性的；
3和1+√6（約3.45）之間：xn會在4個值之間周期出現，即它可能循環地為a,b,c,d,a,b,c,d...一直下去。
約大於1+√6：xn會在8個、16個、32個值……之間出現，至於r何時會令x_n的值由8個到16個，則和費根鮑姆常數δ = 4.669...有關。
約為3.57：這樣的振動消失，整個系統在混亂的狀態之中。不過，當中有些值還是有周期性的情形出現。例如當r約大於3.82，會出現3個值的周期、6個的、12個的……亦有5個值、7個值的周期等，總之所有周期都可以出現。
大於4：系統將逐漸拋離區間[0,1]，並發散。
這些情況可用分枝圖表示：
分枝圖是一個碎形。