詳解
在典範坐標中,重言 1-形式由下式給出:
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在差一個全微分(恰當形式)的意義下,相空間中的任何“保持”典範 1-形式結構的坐標系,可以稱之為典範坐標;不同典範坐標之間的變換稱為典範變換。
典範辛形式由
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給出。
無坐標定義
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重言 1-形式可以相當抽象地定義為相空間上一個 1-形式。 設 是一個流形, 是其餘切空間或者說相空間。設
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是典範纖維叢投影,令
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是誘導的前推。設m是M上一點,然而因為M是餘切叢,我們可將m理解為切空間上一個函式,在
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點為:
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這樣,我們便有 m是在 q點的纖維中。重言 1-形式在點 m定義為
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這是一個線性函式
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所以
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是流形上一個 1-形式。不難驗證這種定義和上一節局部坐標的定義是相同的。
性質
重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。這便是說:若
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是 Q上任意一個 1-形式,而 是其拉回。那么
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以及
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這些都可以用上一節的定義直接得到,如果寫成局部坐標的形式就最好理解:
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作用量
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如果H是餘切叢上一個哈密頓向量場,而是其哈密頓流,那么相應的作用量 S為
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用普通的方式表述,哈密頓流代表了一個力學系統在哈密頓-雅可比方程限制下的軌道。哈密頓流是哈密頓向量場的積分曲線,所以我們用作用量-角度坐標傳統記法:
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這裡積分理解為在流形上的維持能量為常數的子集上進行。