內容簡介
本書是變分法方面的專著，書中系統地介紹變分法的基本理論及其套用。編寫本書的目的是希望為高等院校的研究生和高年級大學生提供一本學習變分法課程的教材或教學參考書，使他們能夠熟悉變分法的基本概念和計算方法。
本書內容包括預備知識、固定邊界的變分問題、可動邊界的變分問題、泛函極值的充分條件、條件極值的變分問題、參數形式的變分問題、變分原理、變分問題的直接方法、力學中的變分原理及其套用以及含向量、張量和哈密頓運算元的泛函變分問題。其中許多內容是作者多年來的研究成果，特別是提出完全泛函的極值函式定理，統一了變分法中的各種歐拉方程，創立含向量、向量的模、任意階張量和哈密頓運算元的泛函的變分理論，給出相應的歐拉方程組及自然邊界條件，擴大了變分法的套用範圍。
目錄
第1章預備知識1
1.1泰勒公式1
1.1.1一元函式的情形1
1.1.2多元函式的情形1
1.2含參變數的積分3
1.3場論基礎5
1.3.1方嚮導數及梯度5
1.3.2向量場的通量和散度10
1.3.3高斯定理與格林公式12
1.3.4向量場的環量與旋度17
1.3.5斯托克斯定理22
1.3.6梯度、散度和旋度表示的統一高斯公式24
1.4直角坐標與極坐標的坐標變換25
1.5變分法基本引理27
1.6求和約定、克羅內克爾符號和排列符號31
1.7張量的基本概念35
1.7.1直角坐標旋轉變換35
1.7.2笛卡兒二階張量36
1.7.3笛卡兒張量的代數運算38
1.7.4張量的商定律39
1.7.5二階張量的主軸、特徵值和不變數39
1.7.6笛卡兒張量的微分運算41
1.8常用不等式42
1.9名家介紹45
習題149
第2章固定邊界的變分問題51
2.1古典變分問題舉例51
2.2變分法的基本概念53
2.3最簡泛函的變分與極值的必要條件59
2.4最簡泛函的歐拉方程67
2.5歐拉方程的幾種特殊類型及其積分74
2.6依賴於多個一元函式的變分問題83
2.7依賴於高階導數的變分問題87
2.8依賴於多元函式的變分問題94
2.9完全泛函的變分問題102
2.10歐拉方程的不變性107
2.11名家介紹112
習題2116
第3章泛函極值的充分條件122
3.1極值曲線場122
3.2雅可比條件和雅可比方程123
3.3魏爾斯特拉斯函式與魏爾斯特拉斯條件127
3.4勒讓德條件130
3.5泛函極值的充分條件131
3.5.1魏爾斯特拉斯充分條件131
3.5.2勒讓德充分條件134
3.6泛函的高階變分138
3.7名家介紹142
習題3143
第4章可動邊界的變分問題145
4.1最簡泛函的變分問題145
4.2含有多個函式的泛函的變分問題155
4.3含有高階導數的泛函的變分問題163
4.3.1泛函含有一個未知函式二階導數的情形163
4.3.2泛函含有一個未知函式多階導數的情形166
4.3.3泛函含有多個未知函式多階導數的情形170
4.4含有多元函式的泛函的變分問題174
4.5具有尖點的極值曲線179
4.6單側變分問題184
4.7名家介紹191
習題4192
第5章條件極值的變分問題194
5.1完整約束的變分問題194
5.2微分約束的變分問題198
5.3等周問題201
5.4混合型泛函的極值問題210
5.4.1簡單混合型泛函的極值問題210
5.4.2二維、三維和n維問題的歐拉方程215
5.5名家介紹219
習題5220
第6章參數形式的變分問題222
6.1曲線的參數形式及齊次條件222
6.2參數形式的等周問題和測地線224
6.3可動邊界參數形式泛函的極值229
習題6232
第7章變分原理233
7.1集合與映射233
7.2集合與空間236
7.3標準正交系與傅立葉級數243
7.4運算元與泛函246
7.5泛函的導數252
7.6運算元方程的變分原理254
7.7與自共軛常微分方程邊值問題等價的變分問題256
7.8與自共軛偏微分方程邊值問題等價的變分問題260
7.9弗里德里希斯不等式和龐加萊不等式265
7.10名家介紹270
習題7273
第8章變分問題的直接方法276
8.1極小（極大）化序列276
8.2歐拉有限差分法278
8.3里茨法280
8.4坎托羅維奇法284
8.5伽遼金法285
8.6最小二乘法295
8.7運算元方程的特徵值和特徵函式296
8.8名家介紹305
習題8306
第9章力學中的變分原理及其套用309
9.1力學的基本概念309
9.1.1力學系統309
9.1.2約束及其分類310
9.1.3實位移與虛位移310
9.1.4應變與位移的關係311
9.1.5功與能312
9.2虛位移原理316
9.2.1質點系的虛位移原理316
9.2.2彈性體的廣義虛位移原理317
9.2.3彈性體的虛位移原理319
9.3最小勢能原理322
9.4餘虛功原理325
9.5最小余能原理327
9.6哈密頓原理及其套用328
9.6.1質點系的哈密頓原理328
9.6.2彈性體的哈密頓原理338
9.7哈密頓正則方程347
9.8赫林格—賴斯納廣義變分原理351
9.9胡海昌—鷲津久一郎廣義變分原理353
9.10莫培督—拉格朗日最小作用量原理355
9.11名家介紹358
習題9360
第10章含向量、張量和哈密頓運算元的泛函變分問題364
10.1張量內積運算的基本性質與含張量的泛函變分基本引理365
10.2含向量、向量的模和哈密頓運算元的泛函的歐拉方程369
10.3梯度型泛函的歐拉方程383
10.4散度型泛函的歐拉方程392
10.5旋度型泛函的歐拉方程404
10.6含並聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函變分問題415
10.6.1並聯式內積張量的梯度、散度和旋度變分公式推導415
10.6.2含並聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函的歐拉方程及自然邊界條件419
10.6.3含並聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函的算例421
10.6.4含並聯式內積張量和哈密頓運算元串的泛函的歐拉方程427
10.6.5其他含並聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函的歐拉方程429
10.7含串聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函變分問題434
10.7.1串聯式內積張量的梯度、散度和旋度變分公式推導434
10.7.2含串聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函的歐拉方程及自然邊界條件437
10.7.3含串聯式內積張量和哈密頓運算元串的泛函的歐拉方程441
10.7.4其他含串聯式內積張量和哈密頓運算元的泛函的歐拉方程444
10.8結論448
10.9名家介紹449
習題10452
附錄1習題全解457
第1章預備知識習題解457
第2章固定邊界的變分問題習題解462
第3章泛函極值的充分條件習題解488
第4章可動邊界的變分問題習題解499
第5章條件極值的變分問題習題解512
第6章參數形式的變分問題習題解526
第7章變分原理習題解531
第8章變分問題的直接方法習題解538
第9章力學中的變分原理及其套用習題解559
第10章含向量、張量和哈密頓運算元的泛函變分問題習題解573
附錄2索引599
參考文獻618
