幼年嶄露頭角
哈密頓的父親阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)為都柏林市的一個初級律師．哈密頓自幼聰明，被稱為神童．他三歲能讀英語，會算術；五歲能譯拉丁語、希臘語和希伯來語，並能背誦荷馬史詩；九歲便熟悉了波斯語，阿拉伯語和印地語．14歲時，因在都柏林歡迎波斯大使宴會上用波斯語與大使交談而出盡風頭．
計算神童
哈密頓自幼喜歡算術，計算很快．1818年遇到美國“計算神童”Z．科耳本(Colburn)後對數學產生了更深厚的興趣．1820年再相逢時，哈密頓已閱讀了I．牛頓(Newton)的《自然哲學的數學原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，並對天文學有強烈愛好，常用自己的望遠鏡觀測大體；還開始讀P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天體力學》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此書中的一個錯誤．同年開始進行科學研究工作，對曲線和曲面的性質進行了系列研究，並用於幾何光學．他的報告送交愛爾蘭科學院後，R．J．布林克萊(Brinkley)院士評論說：“這位年輕人現在是這個年齡(17歲)的第一數學家．”
1823年7月7日，哈密頓以入學考試第一名的成績進入著名的三一學院，得到正規的大學訓練，後因成績優異而多次獲得學院的古典文學和科學的最高榮譽獎．他在1823到1824年間完成了多篇有關幾何學和光學的論文，其中在1924年12月送交愛爾蘭皇家科學院會議的有關焦散曲線(caustics)的論文，引起科學界的重視．
1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文台的皇家天文研究員和三一學院的天文學教授．
哈密頓有兄弟姐妹八人，家庭負擔很重；為減輕父親經濟壓力，他畢業後帶著三個妹妹住到敦辛克天文台．哈密頓不擅長天文觀測，在天文台工作的五年中，仍主要從事理論研究；但因與外界很少聯繫，工作成果並未引起重視．
1832年，哈密頓成為愛爾蘭皇家科學院院士後非常活躍，與學術界人士廣泛交流討論，包括一些詩人和哲學家．他從S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲學，熱情地讀完康德主要著作《純理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲學觀點對哈密頓後期的工作有很大影響．
1834年，哈密頓發表了歷史性論文“一種動力學的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成為動力學發展過程中的新里程碑．文中的觀點主要是從光學研究中抽象出來的．
在對複數長期研究的基礎上，哈密頓在1843年正式提出了四元數(quaternion)，這是代數學中一項重要成果．
由於哈密頓的學術成就和聲望，1835年在都柏林召開的不列顛科學進步協會上被選為主席，同年被授予爵士頭銜．1836年，皇家學會因他在光學上的成就而授予皇家獎章．1837年，哈密頓被任命為愛爾蘭皇家科學院院長，直到1845年．1863年，新成立的美國科學院任命哈密頓為14個國外院士之一．
家庭生活
哈密頓的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他愛上了一位同學的姐姐卡塞琳·狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒絕，哈密頓卻終身不能忘情．在戀愛生活中一再碰壁之後，他於1833年草率地同海倫·貝利(Helen Bayly)結婚．雖然生育二子一女，終因感情不合而長期分居．哈密頓經常不能正規用餐，而是邊吃邊工作．他去世後，在他的論文手稿中找到不少肉骨頭和吃剩的三明治等殘物．
偉大成就
哈密頓工作勤奮，思想活躍．發表的論文一般都很簡潔，別人不易讀懂，但手稿卻很詳細，因而很多成果都由後人整理而得．僅在三一學院圖書館中的哈密頓手稿，就有250本筆記及大量學術通信和未發表論文．愛爾蘭國家圖書館還有一部分手稿．
他的研究工作涉及不少領域，成果最大的是光學、力學和四元數．他研究的光學是幾何光學，具有數學性質；力學則是列出動力學方程及求解；因此哈密頓主要是數學家．但在科學史中影響最大的卻是他對力學的貢獻．哈密頓量是現代物理最重要的量，當我們得到哈密頓量，就意味著得到了全部。
