定義：
周期解的特點是﹕經過一定的時間(周期)後﹐天體的坐標和速度都嚴格地回復到原來的數值。周期解理論是天體力學中最活躍的研究領域之一。對於維數不高的動力學體系(如平面圓型限制性三體問題)來說﹐周期解是決定相空間(坐標和速度分量組成的空間)的“樞紐”軌道。某些簡單的周期解可以作為中間軌道﹐並以此為基礎討論攝動﹔人造天體出現以後﹐需要設計能夠周期性地接近地球和其他天體的軌道﹐這就給周期解的研究工作帶來新動力。研究周期解現有三種基本方法。
定性方法
套用拓撲學方法證明某些類型周期解的存在性。這種方法最初是龐加萊提出的﹐後由伯克霍夫﹑阿爾諾德等人加以發展和充實﹐成為天體力學定性理論中的一個重要內容。對於大周期的解的存在性問題﹐還只能用定性方法進行研究。此外﹐在給定周期解領域內的周期解存在性問題﹐各種周期解的穩定性問題﹐都是用定性方法來研究的。
分析方法
最初也由龐加萊提出。他首先研究含有小參數μ的運動方程。當μ =0時﹐方程有周期解。然後根據周期性條件找出μ≠0時的周期解。這樣的周期解可用μ的冪級數表示﹐並用逐次積分求出其係數。對於三體問題﹐他提出了三類周期解﹐這成為周期解的理論基礎。這些解稱為龐加萊周期解。拉格朗日特解也是一種特殊的周期解。近二十年來﹐對拉格朗日特解附近的周期解存在性和穩定性研究得較多(見脫羅央群小行星的運動)。希爾在研究月球運動時所採用的中間軌道﹐也是周期軌道﹐稱為希爾周期軌道。二十世紀以來﹐在研究希爾周期軌道的收斂範圍以及用新方法建立這種軌道方面﹐取得了很多成果。例如美國康利等人用正規化變換求平動點附近的周期解。
缺點
一是在周期上有限制﹐對周期很大的解還只能用定性方法研究﹔一是推導過程太繁﹐無法推導出一般項和高階項。近年來﹐分析方法常用數值方法來補充﹐並且藉助於電子計算機進行公式推導。
數值方法
自五十年代電子計算機廣泛套用於天體力學研究之後﹐出現了用數值方法研究周期解的高潮﹐建立了大量各種類型的周期軌道。其中絕大部分是針對平面(圓型或橢圓型)限制性三體問題的﹐只有很少是針對空間限制性問題或一般三體問題的。一般方法是尋找某一周期解族的具體周期軌道。具體辦法是先選取周期解的近似初值﹐然後用泰勒級數的斯特芬森方法計算出最後的周期軌道。這樣所得的精度比差分法要高。算得最多的仍然是平動點附近的周期解。六十年代以後﹐出現了很多用數值方法研究周期軌道穩定性的研究成果﹐主要是算出標誌周期軌道的某些參數的具體值﹐從而判定周期解的穩定性和穩定範圍。
數值方法的缺點：一方面是在周期上有限制﹐一般只能研究周期較短的解。另外﹐利用數值方法進行研究只能得到某些具體周期軌道﹐很難看出它們的一般特徵(見天體力學數值方法)。因此﹐周期解理論還需要用幾種方法配合來研究﹐才有可能得到有效的結果。但還沒有形成較完整的具體研究方法。
周期解研究
關於時滯微分方程周期解的研究，除了局部Hopf分支的存在性有較系統的：工作外，對比較--般的常微分方程而言，存在許多實質性困難。1974年，Kaplan與Yorke發表了《產生時滯微分方程周期解的常微分方程》一文，他們對一類具有1個或2個時滯的微分差分方程，利用具有某種對稱性的常微分方程的周期解來產生時滯微分方程的周期解。此後，一些中國數學家和歐美敷學家繼續發展並推廣了Kaplan-Yorke的技巧，對較為一般的包含1個或2個時滯的系統，獲得周期解存在性的許多新結果。但是對多於2個時滯的系統，Kaplan-Yorke的技術是否仍然有效?這是近20年來未解決的問題。在Hamilton系統的周期解理論與時滯微分方程的周期解理論兩個不同領域之間建立了基本的聯繫。從而有可能套用近20年來變分方法在非線性Hamilton系統的周期解研究上所獲得的突破性新成果，來研究時滯微分方程的周期解。 Kaplan-Yorke型時滯微分方程的周期解存在性理論。為此，需要用三分之一的篇幅敘述Hamilton系統的周期解存在理論，介紹臨界點理論在Hamilton系統周期解研究中的套用。
