定義
同餘數
同餘數
同餘數
同餘數 同餘數叫同餘數，如果它是三邊邊長都是有理數的直角三角形的面積。用式子來表示就是：如果存在三個正有理數 滿足 和面積 ，此數 就稱為同餘數。
同餘數例如：6是同餘數,因為它是三邊邊長3、4、5的直角三角形的面積。5也是同餘數，因為它是邊長為 的直角三角形的面積。
整同餘數
如果正整數n是同餘數，那么，n稱為整同餘數。
同餘數設n是正有理數，且對 ，這裡s是正有理數，而r是無平方因子的正整數，那么n是同餘數若且唯若r是同餘數。
由此可見，同餘數的問題可轉化為整同餘數來處理。
本原同餘數
如果一個A 是不含平方因子的整同餘數，則 A 稱為本原同餘數。
重要結論
定理：n是整同餘數的充要條件是存在正整數a,b,v，使得：
同餘數
同餘數
同餘數 同餘數其中，是正整數，一奇數一偶數
同餘數
同餘數推論：若不定方程 沒有正整數解，則n不是同餘數。
套用舉例
例1 試證明：1不是同餘數
同餘數證明：因為不定方程沒有正整數解 ，由推論知，1不是同餘數。
例2 試證7是同餘數
同餘數
同餘數
同餘數證明：在中，取 ，得，故7是同餘數
同餘數例3 設k為正整數，試證不是同餘數
同餘數
同餘數 同餘數 同餘數 同餘數 同餘數 同餘數證明：假設是同餘數，則有：有正整數解，從而，不定方程有正整數解，但不定方程沒有正整數解 ，矛盾，故假設不成立。因此，不是同餘數
歷史
同餘數 同餘數 同餘數 同餘數同餘數問題在數學界被稱為三大千年數論難題之一（另外兩個是完全數問題與三次和三次以上丟番圖方程有解問題）。古阿拉伯人是通過研究直角三角形的面積提出同餘數問題的。對於直角三角形，人們已經知道，它的三邊滿足方程 ，這就是我們所說的的勾股定理（在國外又被稱為畢達哥拉斯定理）。當直角三角形的三邊 為有理數，若直角三角形的面積 為正整數，這樣的 就是古阿拉伯人所欲求得的同餘數。
同餘數
同餘數
同餘數
同餘數 同餘數早在一千多年前的一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個問題：一個正整數n何時能成為一個一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差，也就是說 都是平方數。這與前面的定義是等價的，因為 形成我們想要的等差數列。反過來，若 ，則 形成一個面積為 的有理直角三角形。這便是同餘數名稱的由來。容易看出，乘上一個平方數不影響一個數是否成為同餘數。所以人們常常假設n不含平方因子。在阿拉伯人的手稿中，給出了34個同餘數，其中，不含平方因子的有30個：
同餘數
同餘數以後的古希臘人，也曾在同餘數問題上得到了一些具體的結果。
研究成果
經典結果
同餘數
同餘數到了十七世紀，法國大數學家費爾馬開始對同餘數問題進行系統地研究，首先，他把古阿拉伯人的研究方法改造為一個定理：正整數n是同餘數若且唯若方程組 具有y≠0的整數解。這就使初等數論理論開始套用到同餘數問題的研究之中，運用他自己發明的無窮遞降法，費爾馬證明了1 ，2 ，3 不是同餘數。其中1不是同餘數等價於方冪等於4的費馬大定理，即 沒有整數解。這也是最早出現的對非同餘數的研究成果。萊昂哈德·歐拉(Euler)第一個證明了7是同餘數。
公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個問題：一個正整數n何時能成為一個一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差，也就是說x-n,x,x+n都是平方數。
十三世紀，義大利數學家斐波那契指出5和7是同餘數，他也猜想1、2、3不是同餘數，但未能給出證明。
直到1659年，法國大數學家費爾馬運用他自己發明的無窮下降法證明了1、2、3不是同餘數。
十八世紀，大數學家歐拉首次證明了7是同餘數。
1952年， Heegner 證明了任意模8餘5、7的素數和任意模4餘3的素數的兩倍均為同餘數。
2000年，美國克雷數學研究所公布了千禧年七大數學難題，每破解其中一個難題者將獲得100萬美元的獎金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個猜想與同餘數問題有緊密的聯繫。
2012年，田野證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數的同餘數，這是在同餘數問題上的一個根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。
與橢圓曲線關係
同餘數近代人們發現同餘數問題與橢圓曲線緊密相關。n是同餘數等價於橢圓曲線 有無窮多個有理點。 特別的， 在假設BSD猜想前提下，模8餘5，6，7的n是同餘數。
同餘數
同餘數把這個定理與橢圓曲線理論相聯繫，使人們對同餘數問題的研究有了重大的進展，不過人們同時也發現，用這個定理去求解一個具體的同餘數仍然非常地困難。例如，人們已知157是同餘數，但在方程 的最小解 中，x的分母和分子都近100位，它對應的直角三角形的斜邊為
同餘數.
猜想性的判定法則
Tunnell證明了在 假設BSD猜想的前提下，若n是奇數，定義
同餘數若n是偶數，定義
同餘數則n是同餘數等價於a(n)=0。由於解析秩為0的情形已經被證明，因此a(n)不等於0能推出n不是同餘數。利用這種方法，可以有效地驗證一個非同餘數。
2下降法
在非同餘數方面，人們推廣了費馬的方法，證明了任何素數或者素數的兩倍，如果模8餘1，2，3，是非同餘數。馮克勤證明了對任意的k>0，存在無限多個非同餘數恰好有k個素因子。
與特殊值公式的關係
利用特殊值的導數公式，Heegner證明了模8餘5，6，7的素數或素數兩倍是同餘數。在此基礎上，田野證明了對任意的k>0，存在無限多個非同餘數恰好有k個素因子。
50%-50%猜想
人們猜想，幾乎所有的模8餘5,6,7的平方自由的正整數對應的橢圓曲線秩為1，幾乎所有的模8餘1,2,3的平方自由的正整數對應的橢圓曲線秩為0。也就是說所有的同餘橢圓曲線中有50%秩為0，50%秩為1。田野首次證明了秩為0和秩為1的百分比均大於0，相關文章尚未發表。
