基本介紹
行向量、列向量 若 A為一m×n矩陣， A的每一行為一個實的n元組，於是可將其看成是 R 中的一個向量。對應於 A的m個行的向量稱為 A的 行向量(row vector)。類似地， A的每一列可以看成是 R 中的一個向量，且稱這n個向量為 A的 列向量(column vector)。
行空間、列空間 如果 A為一m×n矩陣，由 A的行向量張成的 R 的子空間稱為 A的 行空 間(row space)。由 A的各列張成的 R 的子空間稱為 A的 列空間(column space)。
例1 令
列空間A的行空間是所有如下形式的3元組：
列空間A的列空間是所有如下形式的向量：
列空間因此， A的行空間為一個 R 的二維子空間，且 A的列空間為 R。
列空間與線性方程組
列空間在研究線性方程組時，行空間和列空間的概念十分有用，一個方程組可寫為
列空間 列空間
列空間定理1(線性方程組的相容性定理) 一個線性方程組相容的充要條件是 b在的列空間中。
若將 b用零向量替代，則(1)化為
列空間 列空間
列空間
列空間由(2)知，若且唯若的列向量線性無關時，方程組僅有平凡解。
列空間 列空間
列空間 列空間 列空間 列空間 列空間定理2 令為一m×n矩陣， 若且唯若的列向量張成 R 時，對每一，線性方程組是相容的，若且唯若的列向量線性無關時，對每一，方程組至多有一個解。
列空間
列空間 列空間推論 若且唯若一個n×n矩陣的列向量為的一組基時，是非奇異的。
一般地，矩陣的秩和其零空間的維數加起來等於矩陣的列數。一個矩陣的零空間的維數稱為矩陣的零度(nullity)。
列空間 列空間 列空間定理3(秩一零度定理) 若為一m×n矩陣，則的秩與的零度的和為n 。
相關定理
定理4 兩個行等價的矩陣有相同的行空間。
證明： 若 B行等價於 A，則 B可由 A經有限次行運算得到。因此， B的行向量必為 A的行向量的線性組合。所以， B的行空間必為 A的行空間的子空間，因為 A行等價於 B，由相同的原因， A的行空間是 B的行空間的子空間。
定義 A的行空間的維數稱為矩陣 A的秩(rank)。
為求矩陣的秩，可以將矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中的非零行將構成行空間的一組基。
例2令
列空間將 A 化為行階梯形，得到矩陣
列空間
列空間 列空間顯然，(1，-2，,3)和(0，1，5)構成的行空間的一組基。因為和 A是行等價所以它們有相同的行空間，且因此 A 的秩為2。
列空間
列空間 列空間一般地，若 A為一m×n矩陣，且是 A的行階梯形，則由於若且唯若時，，故它們的列向量滿足相同的依賴關係。
定理5若 A為一m×n矩陣，則 A的行空間的維數等於 A的列空間的維數 。
列空間 列空間 列空間
列空間 列空間
列空間 列空間 列空間
列空間
列空間 列空間 列空間 列空間
列空間證明： 若 A為一秩為r的m×n矩陣，則 A的行階梯形將有r個首1元素。中對應於首1元素的列將是線性無關的。然而，它們並不構成 A的列空間的基，這是因為，一般地， A和有不同的列空間。令為消去中自由變數所在的列得到的新矩陣。從 A中消去相應的列，並記新矩陣為。矩陣和也是行等價的。因此，若 x為的一個解，則 x必為的解。因為的各列是線性無關的，故 x必為 0，因此，的各列也是線性無關的，因為有r列，所以 A的列空間的維數至少為r。因為對任何矩陣，其列空間的維數大於或等於行空間的維數，將這個結論套用於，我們有
列空間dim( A的行空間)=dim(的列空間)
列空間≥dim(的行空間)
=dim( A的列空間)
因此，對任何矩陣 A，行空間的維數必等於列空間的維數。
列空間 列空間我們可以利用 A的行階梯形求 A的列空間的一組基。我們只需求中對應於首1元素的列即可。 A中的相應列將是線性無關的，並構成 A的列空間的一組基。
列空間 列空間 列空間注意： 行階梯形僅告訴我們 A的哪一列用於構成基。但不能用的列作為基向量，這是因為和 A一般有不同的列空間。
