切割弦定律

切割弦定律--為一個幾何定律，包括相交弦定理、切割線定理等。

相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
幾何語言：若弦AB、CD交於點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
幾何語言：
若AB是直徑，CD交AB於點P，P為圓心
則PC=PA·PB（相交弦定理推論）
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項。
設ABP是⊙Ｏ的一條割線，PT是⊙Ｏ的一條切線，切點為T，則PT*PT=PA·PB
證明：連線AT, BT
∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(兩角對應相等,兩三角形相似)
則:PB：PT=PT：AP
即：PT*PT=PB·PA
割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線則有這點到割線與圓交點的兩條線段的積相等。
要證PT=PA·PB， 可以證明 ，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，於是考慮作輔助線TP，PB．(圖3)．容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，於是問題可證。
相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
幾何語言：若弦AB、CD交於點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
幾何語言：
若AB是直徑，CD交AB於點P，P為圓心
則PC=PA·PB（相交弦定理推論）
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項。
設ABP是⊙Ｏ的一條割線，PT是⊙Ｏ的一條切線，切點為T，則PT^2=PA·PB
證明：連線AT, BT
∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(兩角對應相等,兩三角形相似)
則:PB：PT=PT：AP
即：PT^2=PB·PA
割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線則有這點到割線與圓交點的兩條線段的積相等。
要證PT=PA·PB， 可以證明 ，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，於是考慮作輔助線TP，PB．(圖3)．容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，於是問題可證。
相交弦定理、切割線定理、割線定理三者有什麼聯繫？（圖略）
仔細觀察這三個定理的條件和結論，再作如下分析。經過圓內一點P作弦AB、CD、…，OP⊥EF，則PA·PB = PC·PD = …… = PE·PF = PE = r - OP（r為圓的半徑）。
再如圖16，經過圓外一點P作割線PBA、PDC、…，則PA·PB = PC·PD = …… = PT =OP - r
於是相交弦定理、切割線定理、割線定理三者可以統一成下面的定理：
設經過定點P的任何一條直線交圓O於兩點A、B，且圓O的半徑為r，則積PA·PB的值為一常數|OP - r|這個統一的定理叫做圓冪定理。