內容簡介
《分數階偏微分方程及其數值解》可供大學數學專業、套用數學專業和計算數學專業的高年級學生、研究生、教師以及相關的科技工作者閱讀、參考。本書由郭柏靈、蒲學科、黃鳳輝著。
目錄
前言
第1章 數學物理中的分數階微分方程
1.1 分數階導數的由來
1.2 反常擴散與分數階擴散對流
1.2.1 隨機遊走和分數階方程
1.2.2 分數階擴散對流方程
1.2.3 分數階Fokker-Planck方程
1.2.4 分數階Klein-Kramers方程
1.3 分數階準地轉方程(QGE)
1.4 分數階Schrodinger方程
1.5 分數階Ginzburg-Landau方程
1.6 分數階Landau-Lifshitz方程
1.7 分數階微分方程的一些套用
第2章 分數階微積分與分數階方程
2.1 分數階積分和求導
2.1.1 Riemann-Liouville分數階積分
2.1.2 R-L分數階導數
2.1.3 R-L分數階導數的拉普拉斯變換
2.1.4 其他的分數階導數定義
2.2 分數階拉普拉斯運算元
2.2.1 定義與背景
2.2.2 分數階拉普拉斯運算元的性質
2.2.3 擬微分運算元
2.2.4 Riesz位勢與Bessel位勢
2.2.5 分數階Sobolev空間
2.2.6 交換子估計
2.3 解的存在唯一性
2.3.1 序列分數階導數
2.3.2 線性分數階微分方程
2.3.3 一般的分數階常微分方程
2.3.4 例子——Mittag-Leffler函式的套用
2.4 附錄A 傅立葉變換
2.5 附錄B 拉普拉斯變換
2.6 附錄C Mittag-Leffler函式
2.6.1 Gamma函式和Beta函式
2.6.2 Mittag-Leffler函式
第3章 分數階偏微分方程
3.1 分數階擴散方程
3.2 分數階Schrodinger.方程
3.2.1 空間分數階導數的Schrodinger方程
3.2.2 時間分數階導數的Schrodinger方程
3.2.3 一維分數階Schiodinger方程的整體適定性
3.3 分數階Ginzburg-Landau方程
3.3.1 弱解的存在性
3.3.2 強解的整體存在性
3.3.3 吸引子的存在性
3.4 分數階Landau-Lifshitz方程
3.4.1 黏性消去法
3.4.2 Ginzburg-Landau逼近與漸近極限.
3.4.3 高i維情形——Galerkin逼近
3.5 分數階QG方程
3.5.1 解的存在唯一性
3.5.2 無黏極限
3.5.3 長時間行為——衰減和逼近
3.5.4 吸引子的存在性
3.6 邊值問題——調和延拓方法
第4章 分數階微積分的數值逼近
4.1 分數階微積分定義及其相互關係
4.2 Riemann-Liouville分數階微積分的G算法
4.3 Riemann-Liouville分數階導數的D算法
4.4 Riemann-Liouville分數階積分的R算法
4.5 分數階導數的L算法
4.6 分數階差商逼近的一般通式
4.7 經典整數階數值微分、積分公式的推廣
4.7.1 經典向後差商及中心差商格式的推廣
4.7.2 插值型數值積分公式的推廣
4.7.3 經典線性多步法的推廣：Lubich分數階線性多步法
4.8 其他方法技巧的套用
4.8.1 利用傅立葉級數計算周期函式的分數階微積分
4.8.2 短記憶原理
第5章 分數階常微分方程數值求解方法
5.1 分數階線性微分方程的解法
5.2 一般分數階常微分方程的解法
5.2.1 直接法
5.2.2 間接法
5.2.3 差分格式
5.2.4 誤差分析
第6章 分數階偏微分方程數值解法
6.1. 空間分數階對流-擴散方程
6.2 時間分數階偏微分方程
6.2.1 差分格式
6.2.2 穩定性分析：Fourier-Von Neumann方法
6.2.3 誤差分析
6.3 時間-空間分數階偏微分方程
6.3.1 差分格式
6.3.2 穩定性及收斂性分析
6.4 非線性分數階偏微分方程的數值計算
6.4.1 Adomian分解法
6.4.2 變分疊代法
參考文獻
