Mandelbrot集合局部放大
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發現的並以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限複雜和精細的結構。如果計算機的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。當你放大某個區域，它的結構就在變化，展現出新的結構元素。這正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸線"，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統幾何學的挑戰。，這些藝術圖案人們稱之為"分形藝術"。
複平面中的神奇疊代
Mandelbrot集合是Mandelbrot在複平面中對簡單的式子Z<-Z^2+C進行疊代產生的圖形。雖然式子和疊代運算都很簡單，但是產生的圖形出現那么豐富多樣的形態及精細結構簡直令人難以置信以至於不可思議。在傳統幾何學中難以找到如此簡單的規律隱藏著如此複雜而生動的例子。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行為可以導致複雜的結果。例如，大型團體操中每個人穿的衣服只有幾種顏色中的一種，每個人的動作也只是導演規定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的複雜形態。
Julia集合
在複平面上，水平的軸線代表實數，垂直的軸線代表虛數。每個Julia集合（有無限多個點）都決定一個常數C，它是一個複數。現在您在複平面上任意取一個點，其值是複數。將其代入下面方程中進行反覆疊代運算：就是說，用舊的Z自乘再加上C後的結果作為新的Z。再把新的Z作為舊的Z，重複運算。當你不停地做，你將最後得到的Z值有3種可能性：
1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）
2、Z值衰減（趨向於零）
3、Z值是變化的，即非1或非2
趨向無窮和趨向於零的點叫定常吸引子，很多點在定常吸引子處結束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向於零的點是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。問題是我們怎樣才能讓計算機知道哪一個點是定常吸引子還是"Julia集合"。一般按下述算法近似計算：
n=0;
while((n++<Nmax)&&((Real(Z)^2+Imag(Z)^2)<Rmax))
{Z=Z*Z+C;}
其中：Nmax為最大疊代次數，Rmax為逃離界限退出while循環有兩種情況，第一種情況是：(Real(Z)^2+Imag(Z)^2)>=Rmax屬於這種情況的點相當於"1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）"，為定常吸引子,我們把這些區域著成白色。第二種情況是：n>=Nmax屬於這種情況的點相當於"2、Z值衰減（趨向於零）"或"3、Z值是變化的"，我們把這些區域著成黑色。黑色區域圖形的邊界處即為"Julia集合"。"Julia集合"有著極其複雜的形態和精細的結構。黑白兩色的圖形藝術感染力不強。要想得到彩色圖形，最簡單的方法是用疊代返回值n來著顏色。要想獲得較好的藝術效果，一般對n做如下處理：
Red=n*Ar+Br;
Grn=n*Ag+Bg;
Blu=n*Ab+Bb;
if((Red&0x1FF)>0xFF)
Red=Red^0xFF;
if((Grn&0x1FF)>0xFF)
Grn=Grn^0xFF;
if((Blu&0x1FF)>0xFF)
Blu=Blu^0xFF;
其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb為修正量獲得的Red、Grn、Blu為RGB三基色，著色效果為周期變化，具有較強的藝術感染力，而且等位線也蘊藏在周期變化的色彩之中。你可以想像得出，在螢幕上順序的試用每個像素點來反覆疊代方程要花費很長的時間。一幅1024x768螢幕尺寸的畫面有786432個點。其中一些點在計算機上要反覆疊代方程次數達1000次（取決於Nmax的取值）或更多次才放棄運算。運算產生一幅Julia集合需要花費很長的時間，有時需要產生一幅做海報用的大圖像時，如10240x7680，要花幾天的時間。當然，你使用高速計算機會縮短這個時間。
Mandelbrot集合
將Mandelbrot集合和Julia集合聯繫在一起，Julia集合有若干類型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一個常量，而Mandelbrot集合的C是由進入疊代前的Z值而定。疊代結果，Z值同樣有3種可能性，即：1、Z值沒有界限增加（趨向無窮），2、Z值衰減（趨向於零），3、Z值是變化的，即非1或非2。Mandelbrot集合是所有的Julia集合的合併，Mandelbrot集合的某個區域放大後就是這個點的Julia集合。Mandelbrot集合有著一些很異國情調並且古怪的形狀（見圖1）。你能不停地永遠放大Mandelbrot集合，但是受到計算機精度的限制。
Newton/Nova分形
Newton奠定了經典力學、光學和微積分學的基礎。但是除了創造這些自然科學的基礎學科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比不上整個學科那么有名，但已被證明是非常有價值的。例如，牛頓建議用一個逼近方法求解一個方程的根。你猜測一個初始點，然後使用函式的一階導數，用切線逐漸逼近方程的根。如方程Z^6+1=0有六個根，用牛頓的方法"猜測"複平面上各點最後趨向方程的那一個根，你就可以得到一個怪異的分形圖形。和平常的Julia分形一樣，你能永遠放大下去，並有自相似性。牛頓分形圖形中的顏色顯示每個答案的種類及性質，即疊代到目的地花費的時間
關於分形藝術的爭論
把計算機產生的圖形看成是藝術，有人可能要提出一些疑問。這些圖形可以利用高品質的印表機產生任意多幅同樣質量的"原作"，從而在商業化的藝術市場上造成混亂，因此她沒有收藏價值，沒有收藏價值的作品還能算得上是藝術嗎？這是一個十分敏感的問題。早在六十年代初有些數學家和程式設計人員就開始利用計算機及繪圖設備從事這方面的工作。但他們大部分人避免將自己的工作與"藝術"一詞掛起鉤來，以免與藝術界的人們發生衝突。但是有一些人還是挺著腰桿去面對批評，承認計算機是視覺藝術的一種新工具，稱他們自己的方法為"計算機藝術"。在批評面前，他們沒有受到影響。他們不顧理論界的反對而繼續自己的探索。他們積累了大量令人難忘的成果。正因為他們的努力才出現了PhotoShop、CorelDRAW等等著名的軟體，以及各種計算機藝術團體組織。PhotoShop也成了某些美術專業學生的必修課。當今時代出現的充滿科技含量的"分形藝術"又不同於運用PhotoShop從事的計算機藝術創作。
"分形藝術"是純數學產物，是否能算得上藝術必然會引起新的爭論。爭論最活躍的問題是：分形圖形是純數學產物能算得上藝術嗎？既然學習數學和程式設計就可以從事藝術創作了，學習美術專業還有什麼用處呢？這個問題提的好。從事分形藝術創作的人要研究產生這些圖形的數學算法，這些算法產生的圖形是無限的。他們沒有結束，你永遠不能看見它的全部。你不斷放大她們的局部，也許你可能正在發現前人沒曾見到過的圖案。這些圖案可能是非常精彩的。她們與現實世界相符合，從浩瀚廣闊的宇宙空間到極精緻的細節，是完全可以用數學結構來描述的。另一個的問題是顏色，好的顏色選擇，就可以得到一幅奇妙的圖形。糟糕的選擇，你得到的就是垃圾。所以說，創造分形藝術，最好再學一點繪畫基礎、色彩學等，那將是大有益處。分形幾何衝擊著不同的學術領域，她在藝術領域顯示出非凡的作用。創作精美的分形藝術是國內外分形藝術家們的人生追求，總有一天分形藝術會登上大雅藝術殿堂。
