分形布朗運動

分形布朗運動FBM(Fractal 給定H指數為(0>H>1)的分形布朗運動的定義如下： 則稱為分形布朗運動(FBM)。

分形布朗運動FBM(Fractal Brown Motion)是1968年Mandelbrot和Ness兩人提出的一種數學模型，它主要用於描述自然界的山脈、雲層、地形地貌以及模擬星球表面等不規則形狀階。
FBM是布朗運動的拓廣，同時，它又是理想的不規則擴散和分形隨機行走的基礎。要更好地理解FBM的原理與方法，首先需要對布朗運動作簡要介紹。布朗運動是1827年英國植物學家R．Brown發現的，它是一種隨機運動，粒子的運動方向隨時改變，其運動軌跡是一條無規則的折線，不受什麼約束和支配。
1923年，德國數學家N．Wiener建立了布朗運動的數學模型，後來人們的研究大都是基於維納的這一模型。實際上，布朗粒子的軌跡由大量無規則可循的折線組成，是一種處處連續但處處不可微的曲線，是一種無規分形曲線，它也具有自相似性，但這種自相似性具有統計的性質。
在此基礎上，迸一步說明什麼是分形布朗運動。對於水平標度因子為2，垂直標度因子在I-2之間選取，如果布朗軌跡曲線表現出具有標度不變的特性，即水平方向放大倍數為2，垂直方向放大倍數在1-2之間，而放大後的曲線的振幅與原曲線相當，則此曲線為分形布朗運動曲線。標度指數稱為Hurst指數H，用以表征分形布朗運動的標度特性(標度因子=2H)。
給定H指數為(0<H<1)的分形布朗運動的定義如下：
在某一機率空間的隨機過程B(t)，若滿足以下條件：
1．BH(t)連續，且P{BH(0)=0}=1；
2．對於任意t≥0，△t>0，△BH(t)服從均值為0、方差為&#91;△t&#93;H的高斯分布；
3．BH(t)增量具有相關性，即H≠0．5。
則稱為分形布朗運動(FBM)。(H≠0．5時為通常的布朗運動)