簡介
的共形幾何代數（CGA）由 李洪波研究員主創（第一作者），現已成為國際幾何代數研究的主流，在國際上獲得高度評價和廣泛套用。
共形幾何代數（CGA）是基於高級幾何不變數的代數表示和計算系統，是Clifford 代數的一個新的分支 , 主要內容包括表示和計算兩部分 :
1、十九世紀幾何的統合代數表示。
CGA 為初等幾何提供了統一和簡潔的齊性代數框架。所謂初等幾何 , 即不具有微積分運算的幾何 , 包括歐氏幾何、雙曲（非歐）幾何、球面幾何、球幾何、線幾何、投影幾何、仿射幾何等。在 CGA 提供的簡潔計算公式中 , 各種維數的平面和球的幾何度量與其幾何構造對偶 , 幾何上的交和擴張對應於 Cayley 代數交和並 , 距離和夾角對應於表示的內積 , 而所有的幾何關係都包含於 Clifford 乘法。各種幾何變換可以用鏇量和轉量顯式表示。
由於 CGA 與坐標的選取無關，處理幾何問題的過程和結果具有內蘊性的 , 因而可以直接進行幾何解釋。由於 CGA 對初等幾何的表示是統一的，因而一個代數公式可以在各種幾何中解釋成不同的幾何定理。
2、擁有高效符號幾何計算方法的不變數代數。
幾何學的研究主題是幾何不變數。不變數系統在幾何代數化中具有明顯的優點 , 但原有的系統代數計算效率低下 , 一般還不如直接使用坐標方便。
CGA 是高級協變數系統和高級不變數系統的結合 , 其不變數子系統稱為零括弧代數 (Null Bracket Algebra, 簡記 NBA) 。 NBA 具有高效的展開、消元、化簡和分解算法 , 從而可以用來進行極其複雜的符號幾何計算。 NBA 可以將實際的幾何不變數表示成基本不變數的有理單項式形式 , 因而是初等幾何的最實用的不變數系統 , 在幾何數據處理和幾何建模方面表現出巨大的優勢。
發展
1997年 , 李洪波在海斯特內斯教授 (D. Hestenes) 和洛克伍德教授 (A. ROCKWOOD) 領導的 NSF 基金項目 Modeling Workstation 中做博士後工作 , 建立了共形幾何代數 (Conformal Geometric Algebra, 簡記 CGA) 。 經過近一年的考察 , 海斯特內斯對李洪波的研究工作非常滿意 , 對共形幾何代數的創建極為重視 , 注意到這項數學創造具有廣闊的套用前景。 海斯特內斯 是幾何代數的創始人 , 是 Clifford 代數領域最有威望的學者 , 2002 年獲得美國物理教育 Oersted 大獎 。
1999 年夏季 , 李洪波 , 海斯特內斯和洛克伍德分別在國際會議做邀請報告 , 將這項研究成果公布於眾。
1. 李洪波在 The Fifth International Conference on Clifford Algebras and Their Applications (Ixtapa, Mexico, June 27-July 4, 1999) 做邀請報告。
2. 海斯特內斯在 Applied Clifford Algebra in Cybernetics, Robotics, Image Processing and Engineering (ACACSE'99, Ixtapa, Mexico June 27-July 4, 1999) 做邀請報告。
3. 洛克伍德在 Curves and Surfaces: The Fourth International Conference Organized by the Association d'Approximation Francaise , (Saint-malo, Grenoble, France, July 1-7, 1999) 做邀請報告。
相關學術論文正式發表在論文專著 [GC] 中 , 2001 年由 Springer 出版 。 書中排在最前面的 , 是李洪波 , 海斯特內斯 和洛克伍德聯合署名的四篇論文 :
1. [He1] New Algebraic Tools for Classical Geometry,
2. [Li 1] Generalized Homogeneous Coordinates for Computational Geometry,
3. [Li 2] spherical Conformal Geometry with Geometric Algebra,
4. [Li 3] A Universal Model for Conformal Geometries of Euclidean, Spherical and Double-Hyperbolic Spaces.
其中 , 第一篇論文 [He1] 講述 Clifford 代數基本知識， 海斯特內斯 為第一作者。
第二篇論文 [Li 1] 敘述共形幾何代數的主要內容，李洪波自然是第一作者。這篇論文作為共形幾何代數的原始文章，被頻繁引用。
第三篇 [Li 2] 、第四篇 [Li 3] 論文是共形幾何代數的進一步展開，是第二篇論文的延續，李洪波仍然是第一作者。
這四篇論文明確了李洪波的主創作用。
套用領域
1、在計算機圖形學和動畫中的套用 :
劍橋大學幾何代數研究組 , 以萊森畢為領導 , 套用 CGA 於 計算機圖形學、幾何設計和曲面演化。
荷蘭阿姆斯特丹大學智慧型自動系統研究組 , 以道斯特為領導 , 熱衷於發展基於幾何代數 , 尤其是 CGA 的計算機圖形學新算法。他們與加拿大滑鐵盧大學計算機系和羅馬尼亞布加勒斯特技術大學計算機系合作 , 套用 CGA 於碰撞檢測 , Voronoi 圖表 , 光線追蹤 , 格線曲面 , 點雲運動等 , 在 IEEE Trans. Computer Graphics and Applications 和 Computers & Graphics 等 雜誌上發表多篇文章 , 介紹、 探索和套用 CGA, 發展基於幾何代數和 CGA 的圖形學軟體。
英國 , 加拿大和德國的一些學者和工程師套用 CGA 開發了新的觸覺技術和動畫技術。
2、 在計算機視覺和機器人中的套用 :
德國基爾大學認知系統實驗室 , 以索莫 ( 德國模式識別學會副主席 ) 為領導 , 套用 CGA 於神經元設計和姿態估計 , 在 International J. Computer Vision 和 ECCV 等雜誌和會議上發表多篇文章。他們套用 CGA 於姿態估計的工作獲得 2002 年德國模式識別學會獎 (DAGM-Preis); 他們 CGA 於神經元設計的工作獲得 2003 年德國模式識別學會獎。由於該實驗室成員 Rosenhahn 在套用 CGA 於姿態估計方面的出色工作 , 2003 年他獲得一項大獎 ―Siegfried Werth 獎。
墨西哥國家高等技術研究所幾何計算機視覺實驗室 , 以白若科若查諾 ( E. Bayro-Corrochano) 為領導 , 套用 CGA 於照相機定位和神經元設計。
紐西蘭奧克蘭大學計算機視覺研究組 , 以克賴特 (R. Klette, IEEE. Trans. PAMI 副主編 ) 為領導 , 應 用 CGA 於目標自定位問題 。
英國劍橋大學工程系信號處理研究組 , 以 萊森畢夫人 (J. Lasenby) 為領導 , 套用 CGA 於 機器人運動學和反運動學 。
義大利米蘭技術大學德阿夸 (A. Dell'Acqua) , 套用 CGA 於基於多幅圖像的線狀景物重建 。
美國亞利桑那大學航空和機械工程系法斯 ( E. Fasse), 和工程師米勒 (S. Miller), 套用 CGA 研究具有彈性耦合的剛體力學和齒輪理論 。
3、在物理、數學和數學教育中的套用 :
英國劍橋大學 Cavendish 實驗室天體物理研究組 , 以 萊森畢為領導 , 套用 CGA 技術研究宇宙演化和宇宙常數 , 2003年發表了一本專著 。
荷蘭尤瑞特 (Utrecht) 大學物理天文學院維特 (F. WITTE) 套用 CGA 研究時空 。
墨西哥拉丁美洲普卜拉大學數學系索布柴克 (G. Sobczyk), 西班牙巴塞隆納大學物理系泊索 (J. Pozo), 和美國佛羅里達州立大學計算機系艾倫巴赫 (G. Erlebacher), 研究 CGA 上的矩陣代數和微分方程。
日本福井大學機械工程系西測 (E. Hitzer) 和萊德利 (L. Redaelli) 套用 CGA 於數學教育 , 製作了各種精美的 Java 程式 , 開發了第一個純粹基於 CGA 的三維互動 Java 幾何繪圖軟體 KamiWaAi 。
瑞典皇家技術研究所知識管理研究組套用 CGA 於幾何建模和數學教育。
