人物生平
三體問題
在1887年,為了祝賀他的60歲壽誕，瑞典國王奧斯卡二世贊助了一項現金獎勵的競賽，徵求太陽系的穩定性問題的解答，這是三體問題的一個變種。龐加萊簡化了問題，提出了“限制性三體問題”，即三體中其中兩體的質量是如此之大，以至於第三體的質量完全不能對其造成任何擾動。面對這個問題，龐加萊運用了他發明的相圖理論，並且最終發現了混沌理論。雖然龐加萊沒有成功給出一個完整的解答，他的工作令人印象深刻，以至於他還是在1888年贏得了獎金。龐加萊發現這個系統的演變經常是渾沌的，意思是說如果初始狀態有一個小的擾動，例如一個體的初始位置有一個小的變動，則後來的狀態可能會有極大的不同。如果該小變動不能被我們的測量儀器所探測，則我們不能預測最終狀態為何。裁判之一，著名的卡爾·維爾斯特拉斯說，"這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌著天體力學的一個新時代的誕生。"
相對論方面的工作
1893年他參加了法國經度局，參與了把全世界的時間同步的活動。在1897年，他支持了一個沒有成功的把弧度測量十進制化進而把時間和經度十進制化的建議。這項工作導致他考慮高速移動的鐘如何互相同步的問題。在1898年，在“時間的測量”中，他闡述了相對論原理，根據這個原理，沒有機械或電磁試驗可以區分勻速運動的狀態和靜止的狀態。和荷蘭理論家洛侖茲的合作中，他把時間的物理推向極限來解釋快速運動的電子的行為。但正是阿爾伯特·愛因斯坦才準備好了重建整個物理大廈，是他推出了成功的新相對性模型。他和愛因斯坦在他們在相對論上的工作有一段有趣的關係──實際上可以說是缺乏關係。他們的互動開始於1905年，當時龐加萊發表了他的第一篇關於相對論的論文。該論文的課題是“部分運動學的，部分動力學的”，並包括洛倫茲關於洛倫茲變換（實際上是龐加萊給它這個名字的）的證明的更正。大約一個月後，愛因斯坦發表了他在相對論上的第一篇論文。兩人都繼續發表相對論上的工作，但是沒有任何一個引用對方的工作。愛因斯坦不僅不引用龐加萊的工作，他也宣稱從未讀過！（不知道他是否最終讀過龐加萊的論文。）愛因斯坦最後引用了龐加萊並且承認了他在相對論上的工作，這是在1921年稱為“Geometrieund Erahrung”演講稿中。在愛因斯坦其後的生涯中，他評論龐加萊為相對論的先驅之一。在愛因斯坦死前，愛因斯坦說：洛倫茲已經認出了以他命名的變換對於麥克斯韋方程組的分析是基本的，而龐加萊進一步深化了這個遠見。
事業後期
龐加萊給出了數學上最著名猜想之一，七大數學世紀難題之一的龐加萊猜想（任何一個封閉的，並能柔軟延展的三維空間裡面所有的封閉曲線如果都可以收縮成一點，則該空間一定能被吹漲成一個三維圓球），於2006年6月被證實。
著作
他做出過貢獻的特定課題包括:
代數拓撲多復變數解析函式論交換函式論代數幾何數論三體問題丟番圖方程的理論電磁學理論狹義相對論在一篇1894年的論文中，他引入了基本群的概念。在微分方程領域，龐加萊給出許多微分方程的定性理論的許多結果，例如龐加萊球面和龐加萊映射。龐加萊對於套用數學的不同領域做出了許多貢獻，例如：天體力學，流體力學，光學，電學，電報，毛細現象，彈性理論，熱動力學，勢理論，量子理論，相對論和宇宙學。
他也是數學和物理的通俗作家，並寫了多本給一般大眾的書。
出版物
龐加萊對於代數拓撲的主要貢獻在於 Analysis situs(位相分析，1895年)，它是第一個對拓撲真正系統的檢視。
他出版了兩本重要著作，使得天體力學建立在嚴格的數學基礎之上:
天體力學新方法 天體力學課程. (1905-10年).
