基本介紹
定義
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係令R是A上的二元關係，對於A中任意的 ，若 ，且 ，則 ，則稱R具有 傳遞性(或稱R是 傳遞關係)。
傳遞關係R是A上的傳遞關係 。
例題解析
【 例1】設A={1，2，3，4}，下列幾個是A 上的二元關係。
R={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，4>，<4，1>，<4，4>}；
R={<1，1>，<1，2>，<2，1>}；
R={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>}；
R={<2，1>，<3，1>，<3，2>，<4，1>，<4，2>，<4，3>}；
R=(<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，3>，<3，4>，<4，4>}；
R={<3，4>}。
其中，哪些是傳遞關係?
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係 傳遞關係 傳遞關係解： 是傳遞的。對這些關係可以證明，若 和 屬於一個關係，則 也屬於這個關係，例如 傳遞的，因為 中只有<3，2>和<2，1>，<4，2>和<2，1>，<4，3>和<3，1>以及<4，3>和<3，2>是這樣的有序對，而<3，1>，<4，1>和<4，2>屬於。
傳遞關係同理可證是傳遞的。
傳遞關係雖然只有一個序對，但它沒有違反傳遞性的規則，故也是傳遞的。
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係不是傳遞的。因為，。
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係不是傳遞的，因為而。
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係不是傳遞的，因為，而。
傳遞關係在關係圖上特徵表現為如果結點u到v有邊，v到w有邊，則必有從u到w的邊。
傳遞關係的性質
傳遞關係設，則有：
傳遞關係
傳遞關係(1)若是傳遞的。則。
傳遞關係
傳遞關係(2)若是傳遞的，則是傳遞的。
傳遞關係
傳遞關係(3)若是傳遞的，則是傳遞的。
關係的判斷
綜上所述。判斷一個A上的二元關係具有哪些性質。可以從定義出發，或者觀察關係的關係圖和關係矩陣。對於一些簡單的特徵明顯的關係是容易判斷的，然而如何判斷任意一個關係具有哪些性質呢?下面給出判斷的形式化表示。
定理1 設R是A上的二元關係，則
傳遞關係(1) R是自反關係。
傳遞關係(2) R是反自反關係。
傳遞關係(3)R是對稱關係。
傳遞關係(4)R是反對稱關係。
傳遞關係(5)R是傳遞關係。
例2利用定理1判斷例1中各關係具有的性質。
傳遞關係解：5種性質都不具備，原因如下。
傳遞關係
傳遞關係
傳遞關係 傳遞關係(1)，而，所以，故不具有自反性。
傳遞關係 傳遞關係(2)，故不具有自反性。
傳遞關係 傳遞關係(3)，故不是對稱的。
傳遞關係
傳遞關係(4)，故不是反對稱的。
傳遞關係 傳遞關係(5)，故不是傳遞的。
同理可以判斷：
傳遞關係是對稱的，不是自反的、反自反的、反對稱的、傳遞的；
傳遞關係是自反的、對稱的，不是反自反的、反對稱的、傳遞的；
傳遞關係是反自反的、反對稱的、傳遞的，不是自反的、對稱的；
傳遞關係是自反的、反對稱的、傳遞的，不是反自反的、對稱的；
傳遞關係是反自反的、反對稱的、傳遞的，不是自反的、對稱的 。
相關概念
二元關係
設A，B是兩個集合，R是A×B的任意一個子集，即
傳遞關係則稱R為從集合A到集合B的一個 二元關係，簡稱為從A到B的一個 二元關係。
傳遞關係若 稱R為 空關係。
若R=A×B，稱為 全關係。
傳遞關係當A=B時，稱二元關係 為A上的二元關係。
傳遞關係當A=B時，記 稱之為A上的恆等關係。
自反關係與反自反關係
傳遞關係
傳遞關係定義1令R是A上的二元關係，若對於A中的每個 都有 ，則稱R具有 自反性(或稱R是 自反關係)。
傳遞關係即R是A上的自反關係 。
傳遞關係 傳遞關係定義2令R是A上的二元關係，若不存在A中的 ，使得 ，則稱R具有 反自反性(或稱R是 反自反關係)。
傳遞關係即R是A上的反自反關係 。
自反的關係亦稱“具有反身性的關係”。對於類K中一個確定的關係R來說，若類K中任意的個體和它自身都具有關係R，則稱關係R在類K中為 自反的關係。若類K中沒有一個個體和它自己具有關係R，則稱關係R在類K中為 反自反的關係。若類K中有的個體和它自己具有關係R，而有的個體和它自己不具有關係R，則稱關係R在類K中為 非自反的 關係。例如，設類K為實數域，則等於關係“=”是自反的關係，大於關係“>”，小於關係“<”都是反自反的關係。“x的平方數是Y”的這種關係就是非自反的關係。因為0的平方數是0，1的平方數是1，即當x為0(或1)時，y也同時為0(或1)，但當x為其它實數時，x的平方數y就不能再與x相同了。所以，“x的平方數是y”的這種關係就既不是自反的關係，也不是反自反的關係，而是非自反的關係 。
