基本介紹
停時 停時 停時
停時停止時間是一種特殊的 隨機變數，表示一個隨機的時刻。例如，設為停時，那么這意味著兩方面內容，第一，是隨機的，第二，的取值範圍是為已知，當結果出現時，可表示為
停時也就是說，該隨機變數的結果是一個特定時刻。
現在考慮建立在債券上的美式期權，該期權可以在當前時刻t=0與到期日T之間的任何時刻執行，如果期權執行者認為時機已到，那么他將執行期權，否則他將選擇等待直到到期。
所以，我們需要研究一個“隨機日期”，它對於期權定價非常重要，實際上，提前執行的權力為美式期權增加了額外的價值。
停時
停時 停時我們設為期權的執行日期，很顯然已知信息集，我們就可以知道該期權是否已經被執行，也就是說，已知，我們可以知道哪種情況成立：
停時該式表示期權已經被執行，或者
停時該式表示期權尚未被提前執行。
停時的這種性質可以用來定義停止時間。
停時定義1 停止時間是可測的非負隨機變數，滿足
停時1)已知，我們可以判斷是否有
停時2)我們有
停時 停時對於一般的衍生證券，期限都是有限的，因此期權要么在一個有限的時刻被執行，要么過期失效，這意味著第二個等式，即以1機率有限，將恆成立。
停時的基本性質
下面列出停時的基本性質。
停時
停時定理 設均為停時，則有
停時(1)是停時；
停時(2)是停時；
停時
停時(3)如果，則；
停時
停時(4)是可測的。
停時
停時首次進入某個集合或者首次達到的時刻是一個停時。事實上，設E是一個度量空間，X是關於濾子適應的、E為狀態空間的隨機過程，對於，定義
停時
停時則就是一個停時。
停時的作用
停時在實際操作中，我們應該如何利用停時呢?
停時最明顯的一個用途是用來代表期權的執行時間，對歐式期權而言，執行時間不含隨機因素，期權只能在到期日被執行，因而我們有
停時 停時而對於美式期權，一般是隨機的。
停時
停時 停時考慮一份美式看漲期權，標的資產為，滿足以下SDE：
停時其中漂移項和擴散項係數滿足一般的規範性條件。
和過去一樣，衍生證券的價格可以在等價鞅測度Q下表示，但此時多了一個複雜之處，證券持有者不一定要等到T時刻才執行期權，他可以在利潤較高時提前執行。
也就是說，如果持有者必須等到到期日才能執行期權，那么該期權 t 時刻價值為
停時而如果他可以提前執行，那么價值為
停時
停時
停時 停時 停時其中是所有可能停止機會的集合，是的最優選擇，這裡代表期權持有者可能執行該看漲期權的日期。
停時 停時 停時因此在 t 時刻，我們可以計算出一系列，包含所有停止時間可能的取值，為了求出正確的價格，我們要求這些的上確界。
