圖書簡介
本書介紹了偏微分方程數值解的兩類主要方法：有限差分方法和有限元方法，其內容包括有限差分方法的基本概念；雙曲型方程、拋物型方法、橢圓型方程及非線性問題的有限差分方法；數學物理方程的變分原理；有限元離散方法以及其他一些相關的課題等。在介紹每種具體方法的同時，還給出相應的理論分析，各章附有習題。
本書可作為高等學校理工科專業研究生教材，有關本科專業也可作教材使用，此外也可供從事科學與工程計算的科技人員參考
前言
本書初版至今已有十多年了，其間老師和同學指出了書中的一些不妥並提出修改意見，在這
次修改中我們做了認真的研究和改進．有關偏微分方程初步知識以及有關數學知識專列一章
，非線性問題的差分方法也集中於一章．這樣本書的基本內容為第1章至第5章以及第7章和
第8章．第6章和第9章分別為非線性問題的差分方法以及一些與有限元相關的課題，如特徵
值問題的有限元方法、邊界元方法、多重格線方法等，這兩章內容可選學．在這次修改中，第2章至第6章由陸金甫修改，其餘均由關治修改．
陸金甫關治
2003年2月
目錄
第1章引論、準備知識1
1引論1
2關於偏微分方程的一些基本概念2
2.1幾個典型方程2
2.2定解問題5
2.3二階方程5
2.4一階方程組8
3Fourier變換和複數矩陣10
3.1Fourier變換10
3.2複數矩陣12
第2章有限差分方法的基本概念13
1有限差分格式13
1.1格線剖分13
1.2用Taylor級數展開方法建立差分格式14
1.3積分方法17
1.4隱式差分格式18
2有限差分格式的相容性、收斂性及穩定性19
2.1有限差分格式的截斷誤差19
2.2有限差分格式的相容性22
2.3有限差分格式的收斂性23
2.4有限差分格式的穩定性25
2.5Lax等價定理28
3研究有限差分格式穩定性的Fourier方法28
3.1Fourier方法29
3.2判別準則32
3.3例子34
4研究有限差分格式穩定性的其他方法37
4.1Hirt啟示性方法37
4.2直接方法39
4.3能量不等式方法42
習題44
第3章雙曲型方程的差分方法45
1一階線性常係數雙曲型方程45
1.1迎風格式45
1.2Lax?Friedrichs格式46
1.3Lax?Wendroff格式48
1.4Courant?Friedrichs?Lewy條件49
1.5利用偏微分方程的特徵線來構造有限差分格式50
1.6蛙跳格式52
1.7數值例子53
2一階線性常係數方程組54
2.1Lax?Friedrichs格式55
2.2Lax?Wendroff格式55
2.3迎風格式55
3變係數方程及方程組57
3.1變係數方程57
3.2變係數方程組59
4二階雙曲型方程60
4.1波動方程的初值問題60
4.2波動方程的顯式格式61
4.3波動的方程差分格式的C.F.L條件63
4.4等價方程組的差分格式65
5雙曲型方程及方程組的初邊值問題65
5.1二階雙曲型方程的邊界處理66
5.2一階雙曲型方程及方程組的邊界條件68
5.3一階雙曲型方程及方程組的數值邊界處理69
6二維問題73
6.1一階雙曲型方程73
6.2一階雙曲型方程組76
6.3隱式格式和ADI格式77
習題80
第4章拋物型方程的有限差分方法82
1常係數擴散方程82
1.1向前差分格式，向後差分格式82
1.2加權隱式格式83
1.3三層顯式格式84
1.4三層隱式格式87
1.5跳點格式88
2初邊值問題90
2.1第一類邊界條件90
2.2第三類邊界條件90
2.3數值例子91
2.4關於穩定性分析的附註94
2.5Saul′ev算法94
2.6分組顯式方法96
3對流擴散方程97
3.1中心顯式格式97
3.2修正中心顯式格式98
3.3迎風差分格式99
3.4Samarskii格式101
3.5指數型差分格式102
3.6隱式格式104
4變係數方程105
4.1Taylor級數展開方法105
4.2Keller盒式格式106
4.3有限體積法107
4.4間斷係數問題109
4.5隱式方程的解法111
5多維問題112
5.1一維格式的直接推廣112
5.2交替方向隱式格式114
5.3局部一維格式116
5.4預測?校正格式117
5.5跳點格式118
5.6三維問題119
6套用120
6.1具有粘性的波動方程120
6.2混合方程組121
習題124
第5章橢圓型方程的差分方法126
1Poisson方程126
1.1五點差分格式126
1.2九點差分格式128
1.3極坐標下的差分格式129
2差分格式的性質131
2.1存在惟一性問題131
2.2差分方程解的收斂性132
3邊界條件的處理134
3.1矩形區域135
3.2一般區域135
4變係數方程137
4.1直接差分方法138
4.2有限體積法138
5雙調和方程139
6特徵值問題140
習題141
第6章非線性問題的差分方法143
1擬線性雙曲型方程及方程組143
1.1守恆律的初值問題143
1.2Riemann問題145
1.3擬線性雙曲型方程組146
2守恆型差分格式149
2.1Lax?Friedrichs差分格式149
2.2守恆型差分格式150
2.3數值例子154
3TVD差分格式155
3.1單調格式及保持單調格式155
3.2TVD格式156
3.3通量限制器方法158
4特徵線方法與迎風格式160
4.1特徵線方法160
4.2迎風差分格式163
5氣體動力學方程組的經典差分方法166
5.1氣體動力學方程組167
5.2von Neumann?Richtmyer方法167
5.3Lax?Friedrichs格式169
5.4Lax?Wendroff格式170
6非線性拋物型方程的差分方法171
6.1Richtmyer線性化方法173
6.2擬線性擴散方程的隱式格式174
6.3三層格式175
6.4預估?校正方法176
7可壓縮的Navier?Stokes方程組178
7.1微分方程178
7.2一維模型問題179
7.3顯式時間分裂方法179
8不可壓縮的Navier?Stokes方程181
8.1依賴時間的問題181
8.2定態問題183
習題185
第7章數學物理方程的變分原理187
1變分問題介紹187
1.1古典變分問題187
1.2變分問題解的必要條件189
1.3Rn中的變分問題192
2一維數學物理問題的變分問題194
2.1兩點邊值問題的變分形式195
2.2非齊次約束邊界條件的處理198
2.3第二、三類邊界條件199
3高維數學物理問題的變分問題199
3.1第一類邊值問題的變分問題200
3.2其他邊值問題202
3.3間斷係數問題——有內邊界的情形203
3.4重調和方程邊值問題的變分問題205
4變分問題的近似計算206
4.1Ritz方法206
4.2Galerkin方法208
4.3古典變分方法的數值例子208
5權餘量方法及其他方法210
習題213
第8章有限元離散方法217
1一維問題的有限元方法、線性元217
1.1單元剖分及試探函式空間的構造218
1.2有限元方程的形成219
1.3數值例子225
2二維問題、三角形線性元228
2.1單元剖分及試探函式空間的構造228
2.2有限元方程的形成232
2.3例子240
3高次插值243
3.1一維問題的高次插值243
3.1.1Lagrange插值244
3.1.2Hermite插值247
3.2二維問題三角形元的高次插值249
3.2.1線性插值和面積坐標250
3.2.2二次插值252
3.2.3三次插值253
3.3二維問題的矩形元254
3.3.1雙線性插值254
3.3.2雙二次插值255
3.3.3Hermite插值256
3.4等參數單元257
3.4.1任意四邊形單元257
3.4.2等參數單元的概念和例259
習題260
第9章其他一些課題264
1基於變分原理的差分格式264
1.1一維問題264
1.2二維問題267
2拋物型方程的有限元方法270
3一些非線性問題273
3.1非線性問題的一個例子273
3.2變分不等方程簡介275
3.2.1Rn中光滑函式的最小問題275
3.2.2障礙問題276
3.2.3水壩的滲流問題278
4混合有限元方法介紹279
4.1一維問題的例子280
4.2二維問題簡介282
5特徵值問題的變分形式及有限元方法284
5.1特徵值問題284
5.2特徵值問題的Galerkin變分形式286
5.3特徵值問題的極小形式287
5.4特徵值問題的有限元方法289
5.5例子291
6邊界元方法294
6.1基本的邊界積分關係式295
6.2邊界元近似297
6.3數值例子300
7多重格線方法303
7.1模型問題，疊代法的分析304
7.1.1一維和二維的模型例子304
7.1.2格線方程疊代法的分析305
7.1.3兩層格線方程組的聯繫308
7.2二重格線方法308
7.2.1粗、細網上函式值的轉移309
7.2.2二重格線上的一個循環309
7.3多重格線方法311
7.3.1多重格線的一個V循環311
7.3.2完全的多重格線方法312
習題312
參考文獻314
索引315
