倒根方程

倒根方程

倒根方程(reciprocal root equation)是指其根有特殊關係的兩個方程, 若一個一元n次方程的n個根都不為零,以這些根的倒數為根的方程叫作原方程的倒根方程 。

基本介紹

倒根方程即全部根相應互為倒數的兩個一元整式方程。如果x,x,…,x(均不為零)是一元n次方程ax +ax +…+ax+a=0(a≠0,a≠0)的n個根,那么以這n個根的倒數

倒根方程 倒根方程

為根的一元n次方程稱為原方程的倒根方程。把一元n次方程ax +ax +…+ax+a=0(a≠0,a≠0)的各項係數次序顛倒過來的方程ax +ax +…+ax+a=0(a≠0,a≠0)就和原方程互為倒根方程 。

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定理 對於方程

倒根方程 倒根方程

其中a≠0,a≠0,則其倒根方程為

倒根方程 倒根方程
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略證:不妨設 為方程(1)的根,則得

倒根方程 倒根方程

兩邊同除

倒根方程 倒根方程

便得

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倒根方程 倒根方程

即 為方程(2)的根。

同理可證,方程(2)的各根之倒數亦為方程(1)的根。從而證得方程(1)與方程②互為倒根方程。

我們可以利用這個定理較簡捷地求出某些一元刀次方程的各根 。

倒根方程 倒根方程

【例】解方程

略解 ∵方程(1)的倒根方程

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由互為倒根方程的定理可得方程(1)的各根

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